¿Es posible derivar la expresión de la dilatación del tiempo directamente del intervalo espacio-tiempo?

Question

¿Hay alguna manera de derivar la expresión de la dilatación del tiempo: $$\Delta t'=\gamma\Delta t$$ del intervalo espacio-temporal: $$s^2=c^2t^2-x^2-y^2-z^2$$

Sé cómo derivar la expresión de la dilatación del tiempo utilizando la geometría y simplificando, pero me preguntaba si hay una manera de hacerlo directamente desde el invariante ya que codifica mucho de la relatividad especial en él. Gracias.

Answer 1

En primer lugar, imaginemos un cronómetro en reposo que mide un intervalo de tiempo $\Delta t$ . Esto significa concretamente que hay dos eventos: el evento 1 es que ponemos en marcha el cronómetro a la hora $t_1$ y posición $x_1$ y el evento 2 es que detenemos el reloj en el momento $t_2=t_1+\Delta t$ mientras el reloj sigue en la posición $x_2$ . El intervalo espacio-temporal en el marco del cronómetro es entonces $$\begin{equation} \Delta s^2 = - c^2 (\Delta t)^2 \end{equation}$$

Ahora imagina un observador que pasa en un cohete, moviéndose a la velocidad $v$ y donde denotamos las coordenadas en este marco con primos. Desde la perspectiva del observador, el cronómetro comienza en el tiempo $t_1'$ y posición $x_1'$ y se detiene en el momento $t_2'$ y posición $x_2'$ . Tenga en cuenta que no sabemos cómo $t_1'$ y $t_2'$ están relacionados en este marco. Pero, ahora sabemos cómo $x_1'$ y $x_2'$ están relacionados; en particular, $x_2' = x_1' - v (t_2'-t_1')$ . O bien, definir $\Delta x' \equiv x_2' - x_1'$ y $\Delta t'=t_2'-t_1'$ tenemos que $v=-\frac{\Delta x'}{\Delta t'}$ .

También podemos calcular el intervalo espaciotemporal entre los mismos dos eventos (inicio y parada del cronómetro) en este marco. Obtenemos $$\begin{eqnarray} \Delta s^2 &=& -c^2 (\Delta t')^2 + (\Delta x')^2 \\ &=& -c^2 (\Delta t')^2 \left[1 - \frac{(\Delta x')^2}{c^2 (\Delta t')^2}\right] \\ &=& -c^2 (\Delta t')^2 \left[1-\frac{v^2}{c^2}\right] \\ &=& - \frac{c^2 (\Delta t')^2}{\gamma^2} \end{eqnarray}$$ donde en la última línea he definido el factor habitual $\gamma \equiv (1-v^2/c^2)^{-1/2}$ .

Dado que el intervalo de espaciotiempo es el mismo en cualquier marco, podemos igualar estas dos expresiones para el intervalo. Encontramos $$\begin{equation} -c^2 (\Delta t)^2 = - \frac{c^2 (\Delta t')^2}{\gamma^2} \end{equation}$$ o, reordenando, $$\begin{equation} (\Delta t') = \gamma (\Delta t) \end{equation}$$ Desde $\gamma > 1$ El intervalo de tiempo en el marco móvil es mayor que en el marco estacionario, lo que supone una dilatación del tiempo ("los relojes en movimiento funcionan con lentitud").

En general, todos los fenómenos de la relatividad especial pueden derivarse de la invariancia del intervalo espaciotemporal.

Answer 2

Para simplificar, trabaje en una sola dimensión espacial.

Consideremos un segmento temporal inercial desde $O$ a $Q$ .
Escriba $\Delta s_{OQ}^2=\Delta t_{OQ}^2-\Delta x_{OQ}^2$ , donde interpretamos el espacio-tiempo-desplazamiento $\Delta s_{OQ}$ y $\Delta t_{OQ}$ es el lado adyacente y $\Delta x_{OQ}$ es el lado opuesto. Sea $\theta$ sea el ángulo de Minkowski (llamado "rapidez") entre las direcciones temporales $\Delta t_{OQ}$ y $\Delta s_{OQ}$ .

Trigonométricamente, el factor de dilatación del tiempo $\gamma (=\cosh\theta)$ es la relación entre el lado adyacente y la hipotenusa $OQ$ .

Por lo tanto, calculamos $$\begin{align} \gamma &=\frac{ADJ}{HYP}\\ &=\frac{\Delta t_{OQ}}{\Delta s_{OQ}}\\ &=\frac{\Delta t_{OQ}}{\sqrt{ \Delta t^2_{OQ} - \Delta x^2_{OQ} }}\\ &=\frac{\Delta t_{OQ}}{\Delta t_{OQ}\sqrt{ 1 - \frac{\Delta x^2_{OQ}}{\Delta t^2_{OQ}} }} &=\frac{1}{\sqrt{ 1 - \left(\frac{\Delta x_{OQ}}{\Delta t_{OQ}}\right)^2 }} \end{align}$$

Answer 3

Fijando c = 1: $\tau = \sqrt{t^2 - x^2 - y^2 - z^2}$

$$\frac{d\tau}{dt} = \frac{\partial \tau}{\partial t} + \frac{\partial \tau}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial \tau}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial \tau}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}$$ Para una velocidad constante, $\frac{\partial x_i}{\partial t}=\frac{x_i}{t}$ $$\frac{\partial \tau}{\partial t} = \frac{1}{\sqrt{1 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$$

$$\frac{\partial \tau}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2 - z^2}}v_x = \frac{-v_x^2}{\sqrt{1 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2}} = \frac{-v_x^2}{\sqrt{1 - v^2}}$$

Algo similar para y y z. $$\frac{d\tau}{dt} = \frac{1 - v_x^2 - v_y^2 - v_z^2 }{\sqrt{1 - v^2}} = \frac{1 - v^2}{\sqrt{1 - v^2}} = \sqrt{1 - v^2} = \frac{1}{\gamma} \implies \frac{dt}{d\tau} = \gamma$$

Este tipo de derivación supone que la expresión del espacio de Minkowski es un postulado.