¿Por qué es $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B & B \\ B & B \\ \end{array}} \right)$ ¿semidefinido positivo?

Question

Dejemos que $B\in M_n$ sea semidefinido positivo .

¿Por qué es $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} B & B \\ B & B \\ \end{array}} \right)$ ¿semidefinido positivo?

Answer 1

Dejemos que $x = \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) \in \mathbb{C}^{2n}$ con $x_1 ,x_2 \in \mathbb{C}^n$ . Entonces tenemos \begin{align} \langle x, \left( \begin{matrix} B & B \\ B & B \end{matrix} \ right)x \rangle &= \langle \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \ right) , \left( \begin{matrix} Bx_1 + Bx_2 \\ Bx_1 + Bx_2 \end{matrix} \right) \rangle \\\\Nde la derecha &= \langle x_1 , Bx_1 +Bx_2\rangle + \langle x_2, Bx_1 + Bx_2 \rangle \langle &= \langle x_1 + x_2 , B(x_1 + x_2 ) \rangle \\\l &\ge 0 \fin {align} Como $x_1 + x_2 \in \mathbb{C}^n$ y $B$ es semidefinido positivo.
También, $$\left( \begin{matrix} B & B \\ B& B \end{matrix} \right)^\dagger = \left( \begin{matrix} B^\dagger & B^\dagger \\ B^\dagger & B^\dagger \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} B & B \\ B& B \end{matrix} \right).$$ Así que $\left( \begin{matrix} B & B \\ B& B \end{matrix} \right)$ es semidefinido positivo.