Pregunta sobre un elemento localmente nilpotente en un módulo

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo noetheriano y $M$ un $A$ -módulo. Un elemento $a\in A$ se dice que localmente nilpotente en $M$ si para cualquier $x\in M$ existe un número entero $n>0$ , s.t. $a^nx=0$ .

Poner $$p=\{a\in A\mid a \text{ is locally nilpotent on } M\}.$$ Entonces $p$ es claramente un ideal. Ahora se afirma que si $q\in \mathrm{Ass}(M)$ entonces hay un elemento $x$ de $M$ con $\mathrm{Ann}(x)=q$ y $p\subseteq q$ .

Estoy confundido aquí ya que incluso $a$ es localmente nilpotente en $M$ no es necesariamente un anilador de $x$ (pero algún poder sí), por lo que la última inclusión parece incorrecta. Espero que alguien pueda ayudar. Gracias.

Answer 1

La clave aquí es que $Ann(x) = q$ es un ideal primario. Si $a \in A$ es localmente nilpotente entonces existe alguna $n$ tal que $a^n \in Ann(x)$ Así que $a \in Ann(x)$ por la primalidad.