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Si GG tiene un elemento de orden p y un elemento de orden q , donde p y q son primos distintos, entonces el orden de G es un múltiplo de pq

Si G tiene un elemento de orden p y un elemento de orden q , donde p y q son primos distintos, entonces el orden de G es un múltiplo de pq

Así es como estoy elaborando mi prueba:

Supongamos que x,yG y que |x|=p y |y|=q donde p y q son primos distintos.

Me está costando redactarlo y armarlo.

Así que lo siguiente que quiero decir es:

Por el teorema de Lagrange el orden de G es un múltiplo de p y un múltiplo de q . Por lo tanto, G debe ser un múltiplo de pq .

Sin embargo, se siente bastante vacío y le falta algo.

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lhf Puntos 83572

Es correcto, pero podría añadir un poco más de detalle, como a continuación.

En general, si G tiene un elemento de orden m y un elemento de orden n entonces por el teorema de Lagrange el orden de G es un múltiplo de ambos m y n y por lo tanto es un múltiplo de lcm(m,n) . En particular, si m y n son coprimos, entonces lcm(m,n)=mn y el orden de G es un múltiplo de mn .

Si p y q son primos distintos, entonces son coprimos y se cumple el resultado anterior.

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