Si $G$ tiene un elemento de orden $p$ y un elemento de orden $q$ , donde $p$ y $q$ son primos distintos, entonces el orden de $G$ es un múltiplo de $pq$

Question

Si $G$ tiene un elemento de orden $p$ y un elemento de orden $q$ , donde $p$ y $q$ son primos distintos, entonces el orden de $G$ es un múltiplo de $pq$

Así es como estoy elaborando mi prueba:

Supongamos que $x,y \in G$ y que $|x|=p$ y $|y|=q$ donde $p$ y $q$ son primos distintos.

Me está costando redactarlo y armarlo.

Así que lo siguiente que quiero decir es:

Por el teorema de Lagrange el orden de $G$ es un múltiplo de $p$ y un múltiplo de $q$ . Por lo tanto, $G$ debe ser un múltiplo de $pq$ .

Sin embargo, se siente bastante vacío y le falta algo.

Answer 1

Es correcto, pero podría añadir un poco más de detalle, como a continuación.

En general, si $G$ tiene un elemento de orden $m$ y un elemento de orden $n$ entonces por el teorema de Lagrange el orden de $G$ es un múltiplo de ambos $m$ y $n$ y por lo tanto es un múltiplo de $lcm(m,n)$ . En particular, si $m$ y $n$ son coprimos, entonces $lcm(m,n)=mn$ y el orden de $G$ es un múltiplo de $mn$ .

Si $p$ y $q$ son primos distintos, entonces son coprimos y se cumple el resultado anterior.