Propiedades básicas de la expectativa en espacios de Banach no separables

Question

$\def\E{\hskip.15ex\mathsf{E}\hskip.10ex}$ Dejemos que $B$ sea un espacio de Banach (tal vez no separable) dotado de la $\sigma$ -Álgebra $\mathscr{B}(B)$ . Dejemos que $R:B\to \mathbb{R}$ sea un operador lineal acotado.

Dejemos que $(\Omega,\mathcal{F},P)$ sea un espacio de probabilidad. Sea $F$ ser un $\mathscr{B}(B)|\mathcal{F}$ -Mapeo medible $\Omega\to B$ . Supongamos que $\E \|F\|<\infty$ .

Pregunta: ¿es cierto, sin ninguna otra suposición, que $\E F$ está bien definida, pertenece a $B$ y $$ \E RF= R \E F? $$

Observación: normalmente (por ejemplo, en el libro de Ledoux-Talagrand) se impone adicionalmente la separabilidad del espacio B. Me pregunto si la afirmación es cierta sin esta suposición. Por ejemplo, ¿qué ocurre si $B$ es sólo un espacio de funciones medibles acotadas (en ese caso se puede definir simplemente $[\E F](x):=\E[F(x)]$ )?

Answer 1

$\newcommand{\E}{\operatorname{\mathsf{E}}}$ No necesita la separabilidad de $B$ para definir $\E F$ para un vector aleatorio $F\colon\Omega\to B$ Sin embargo, hay que asumir que $F$ es fuertemente medible, en el sentido de que existe una secuencia de vectores aleatorios finitos $F_n$ en $B$ tal que $\|F_n(\omega)-F(\omega)\|\to0$ para casi todos los $\omega\in\Omega$ .

Por el teorema de Bochner, si $F$ es fuertemente medible, entonces $\E\|F\|<\infty$ si $F$ es Bochner-integrable, en el sentido de que para alguna secuencia de vectores aleatorios finitos $F_n$ en $B$ tenemos $\|F_n(\omega)-F(\omega)\|\to0$ para casi todos los $\omega$ y $\E\|F_n-F\|\to0$ Entonces $\E F:=\lim_n\E F_n$ con una definición natural $\E F_n$ .

Entonces se sabe y es fácil comprobar que $\E RF=R\E F$ para cualquier vector aleatorio fuertemente medible $F$ con $\E\|F\|<\infty$ y cualquier operador lineal acotado $R\colon B\to\mathbb R$ es decir, la integrabilidad de Bochner implica la integrabilidad de Pettis.

Véase, por ejemplo Yosida, secciones V.4 y V.5 para más detalles.

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En cuanto a tu comentario de que normalmente se supone que el espacio de Banach es separable: esto se hace para garantizar la mensurabilidad en una serie de casos, incluida la mensurabilidad de la suma de vectores aleatorios.

Answer 2

Un contraejemplo para la variable aleatoria con rango no separable.

Dejemos que $\omega_1$ sea el ordinal incontable más pequeño. Sea $\Omega = [0,\omega_1)$ el conjunto de ordinales contables, con la topología de orden. Entonces el espacio de Banach $B = C[0,\omega_1)$ se utilizará. Nota: toda función continua de valor real en $[0,\omega_1)$ está acotado. Además, $$ \lim_{\alpha \to \omega_1} f(\alpha) $$ existe para cada $f \in B$ y $\phi : B \to \mathbb R$ definido por $$ \phi(f) = \lim_{\alpha \to \omega_1} f(\alpha) $$ es un funcional lineal acotado. [La compactación Stone-Cech de $\Omega$ es la compactación de un punto de $\Omega$ .]

Nuestro espacio de medidas es $(\Omega,\mathcal F, \mathbb P)$ , donde $\mathcal F$ es el álgebra sigma contable, y $\mathbb P$ es $0$ en conjuntos contables y $1$ en conjuntos contables. Nota: si $f \in C[0,\omega_1)$ entonces la integral es $$ \int f(\alpha)\;\mathbb P(d\alpha) = \lim_{\alpha \to \omega_1} f(\alpha) = \phi(f) . $$

Definir $F : \Omega \to B$ por $F(\alpha) = \mathbf1_{(\alpha,\omega_1)} $ la función indicadora del intervalo $(\alpha,\omega_1)$ que es un conjunto cerrado.

Demostraremos que no hay $\mathbb E[F] \in B$ con la propiedad $\mathbb E[R\circ F] = R\big(\mathbb E[F]\big)$ para todas las funciones lineales acotadas $R : B \to \mathbb R$ . Supongamos que existe.

Fijar $\xi \in [0,\omega_1)$ . Entonces $f \mapsto f(\xi)$ es un funcional lineal acotado, y $$ F(\alpha)(\xi) = \begin{cases} 1,\quad \alpha < \xi \\ 0,\quad \alpha \ge \xi \end{cases} $$ y por lo tanto $$ 0 = \lim_{\alpha \to \omega_1} F(\alpha)(\xi) = \int F(\alpha)(\xi)\;\mathbb P(d\alpha) = \left(\mathbb E[F]\right)(\xi) $$ Esto es válido para todos los $\xi$ así que $\mathbb E[F] = \mathbf 0$ el elemento cero de $B$ .

Por otro lado $\phi$ definida anteriormente es una función lineal acotada, y $$ \phi(F(\alpha)) = \lim_{\xi \to \omega_1}F(\alpha)(\xi) = 1 $$ para todos $\alpha$ .

Así que $$ \mathbb E[\phi\circ F] =\int\phi(F(\alpha))\;\mathbb P(d\alpha) =\int 1\;\mathbb P(d\alpha) = 1 . $$ Esto no es igual a $\phi\big(\mathbb E[F]\big) = \phi(\mathbf 0) = 0$ .

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Ahora me pregunto si $F$ es Borel.