¿Qué justifica el uso de espinores de Clifford para describir fermiones de dimensión superior?

Question

Me gusta pensar en la QFT al estilo de Weinberg: las partículas vienen primero y los campos después; y estos últimos se construyen para describir las primeras. Los campos no deben considerarse como fundamentales, sino sólo como herramientas convenientes para estudiar las partículas.

En este entorno, ¿qué justifica el postulado de que una partícula fermión debe ser descrita por un campo que se transforma según una representación del álgebra de Clifford?

Más detalles:

Las partículas se clasifican según las representaciones irreducibles del grupo ortogonal, $\mathrm{SO}(d-1)$ (donde $d$ es el número de dimensiones del espacio-tiempo; estoy tomando todas las partículas como masivas para simplificar).

Una vez que se tiene una partícula descrita por una representación $R$ de $\mathrm{SO}(d-1)$ se introduce un campo $\psi$ que, por definición, vive en una representación $R'$ del grupo de Lorentz, $\mathrm{SO}(1,d-1)$ . La cuestión no trivial es qué representación $R'$ corresponde a una representación $R$ es decir, qué campo debe utilizarse para describir una determinada partícula. En general, la respuesta no es única, por lo que en realidad deberíamos buscar "el más sencillo" $R'$ para un determinado $R$ .

En su libro, Weinberg aborda esta cuestión en $d=4$ . Por ejemplo, la representación trivial del grupo ortogonal corresponde a la representación trivial del grupo de Lorentz (es decir, las partículas escalares corresponden a campos escalares). Del mismo modo, el espín $s=1/2$ representación del grupo ortogonal corresponde a la $(0,\frac12),(\frac12,0)$ representaciones del grupo de Lorentz. Para conservar la paridad, éstas deben aparecer juntas, por lo que $$ \text{spin $ s=1/2 $}\quad \Longleftrightarrow \quad (0,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,0) $$

Ahora viene el punto clave: resulta que el lado derecho de esta ecuación corresponde en realidad a una representación irreducible del álgebra de Clifford $$ \gamma^{(\mu}\gamma^{\nu)}=\eta^{\mu\nu} $$ pero esto es sólo una realización a-posteriori. No había ninguna razón para esperar que Clifford fuera relevante desde el principio. Simplemente resulta que lo es.

En dimensiones superiores, la lógica se invierte. Se declara que en dimensiones superiores el álgebra de Clifford es fundamental, y los fermiones son cualquier partícula descrita por dichos campos. En el espíritu de Weinberg, esto es bastante poco convincente: las partículas deberían ser lo primero. Dados los fermiones de dimensión superior, hay que preguntarse qué campos se van a utilizar para describirlos. Y es muy posible que la respuesta sea de nuevo Clifford, pero esto debe ser una conclusión a-posteriori, no un postulado.

Así, mi pregunta ¿Qué justifica el uso del álgebra de Clifford para describir fermiones de mayor dimensión? ¿Cómo podemos demostrar que dicha representación del grupo de Lorentz es efectivamente la representación más sencilla capaz de describir fermiones, cuando tomamos estos últimos como fundamentales en lugar de los primeros?

En concreto, definamos los fermiones de dimensión superior como la primera representación proyectiva no trivial $R$ de $\mathrm{SO}(d-1)$ (o una suma directa, si es necesario, para conservar la paridad).

Answer 1

El OP parece preguntar sobre la lógica del "pequeño grupo". $\to$ Grupo de Lorentz $\to$ Álgebra de Clifford". En esta respuesta discutimos el último tramo.

Dado un ( indefinido ) ortogonal / a (restringido) Grupo de Lorentz $SO^{+}(V,Q)$ [y su doble cubierta, la grupo de giro $Spin^{+}(V,Q)$ ] sobre un $\mathbb{F}$ -espacio vectorial $V$ con una forma cuadrática $Q$ siempre existe funcionalmente un correspondiente Álgebra de Clifford $Cl(V,Q)$ .

Aquí asumimos que las representaciones finito-dimensionales pertinentes se derivan de la representaciones de espinores [es decir, el representaciones fundamentales ] de $Spin^{+}(V,Q)$ y las representaciones del producto tensorial de las mismas.

En pocas palabras, las representaciones de espinores se realizan como álgebras exteriores $\bigwedge^{\bullet}(V)$ . La forma cuadrática de Clifford $Q$ y las matrices gamma pueden construirse a partir de la multiplicación interior y exterior, y el álgebra de Clifford $Cl(Q,V)$ es una "cuantización" pertinente de las álgebras exteriores $\bigwedge^{\bullet}(V)$ . Así que el álgebra de Clifford $Cl(Q,V)$ viene gratis. El álgebra ortogonal (indefinida) / de Lorentz $so(V,Q)$ se realiza como anticomutadores de matrices gamma.

Esto no implica que el álgebra de Clifford [por ejemplo, el $Pin(V,Q)$ grupo ] mejoran la simetría de la teoría.

Answer 2

Estoy respondiendo a la pregunta de por qué utilizamos representaciones del álgebra de Clifford en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos para describir los fermiones o el espín.

La respuesta corta, que puede parecer bastante sorprendente, es que no tenemos que hacerlo. Las álgebras de Clifford tienen muchas ventajas para describir el espín, pero no son la única forma de hacerlo.

La respuesta a la pregunta por qué girar es empírica: Cuando cuantificamos un sistema clásico que tiene un grupo de simetría $G$ los sistemas mecánicos cuánticos correspondientes se transforman según las representaciones irreducibles del grupo de cobertura universal $\tilde{G}$ en lugar de $G$ mismo. Esto es un hecho experimental. Por eso, en los sistemas cuánticos con simetría de rotación surgen representaciones espinorales semi-integrales.

La respuesta a la pregunta por qué es necesario el espín para describir los fermiones viene dada por el teorema de la espin-estadística que no voy a detallar aquí.

Me concentraré en la pregunta: ¿son necesarias las álgebras de Clifford para la descripción del espín?

Antes de dar la respuesta, permítanme contar una anécdota histórica: Antes de que Berezin introdujera su descripción del álgebra de Grassmann de la integral de trayectoria, la gente solía invertir el determinante fermiónico a mano. Lo hicieron durante toda la época de los grandes logros de la QED. (Las álgebras de Grassmann pueden considerarse como las contrapartes clásicas de las álgebras de Clifford).

No es casualidad que haya mencionado a Berezin. Berezin (junto con Marinov) fue el primero en darse cuenta de que las álgebras de Grassmann describen el espín de forma clásica y que pueden cuantificarse mediante un proceso que es la contrapartida fermiónica de la cuantificación canónica a partir de las álgebras de Clifford: Ref. 1 , Ref2 . Pero lo realmente interesante es que también fue el primero que describió una representación del espinor no mediante un álgebra de Clifford Ref3 . De hecho, el álgebra de Clifford está tan bien escondida en la realización de Berezin que es muy difícil construir los representantes de sus generadores en esta realización.

Me explayaré un poco sobre esta realización en el caso del grupo $SO(2N)$

Se sabe que las representaciones de los grupos de Lie compactos están en correspondencia 1-1 con las órbitas (integrales) de la representación coadjunta. Esta es la Borel-Weil-Bott teorema.

En el caso de la representación del espinor de $SO(2N)$ la órbita coadjunta correspondiente es $SO(2N)/U(N)$ se trata de un colector complejo de (dimensión compleja) $\frac{N^2-N}{2}$ . Se trata de una variedad simpléctica compacta que puede servir como espacio de fase.

Lo que realmente significa el teorema de Borel-Weil es que podemos formular un sistema mecánico clásico en $SO(2N)/U(N)$ y cuantificarlo mediante cuantificación geométrica (que no es más que una pequeña generalización de la conocida cuantificación canónica) y obtener la representación espinor de $SO(2N)$ en el espacio cuántico de Hilbert. En la práctica esta representación vendrá dada por medio de estados coherentes construidos como funciones holomorfas del $\frac{N^2-N}{2}$ coordenadas (bosónicas). No hay álgebras de Grassmann ni de Clifford en la construcción .

Ahora bien, una de las razones por las que esta realización no se utiliza en la teoría cuántica de campos es que el Grassmann $\rightarrow$ Clifford tiene codificada la conexión de la estadística de espín debido a sus propiedades de antisimetría. Si hubiéramos utilizado la realización de cuantificación de Berezin en el cálculo de alguna amplitud teórica de campo cuántico habríamos necesitado introducir la antisimetría a mano además de todas las demás complicaciones.

Dicho esto, uno de mis sueños es calcular alguna amplitud QED simple a nivel de árbol utilizando esta representación. Sé que para ello necesitaré un paquete de álgebra computacional muy potente.