Entonces, ¿por qué la constante del gas en $C=3R/M$ ? ¿Cómo se relaciona esto con la capacidad calorífica específica de un elemento sólido?
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aMoLk
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El teorema de equiparación en la termodinámica establece que (en la notación de D.V. Schroeder), $$U_{thermal} = \frac{1}{2}Nfk_bT$$ donde $U$ es la energía térmica total, $f$ es el número de grados de libertad, $k_b$ es la constante de Boltzmann, y $T$ es la temperatura.
Para la capacidad calorífica de una sustancia a volumen constante, suponemos que no hay trabajo realizado en el sistema, ya que el trabajo, en general, actúa para cambiar el volumen (pensemos en la compresión de una bomba de bicicleta, por ejemplo). Recordemos que la definición de capacidad calorífica es $$ C \equiv \frac{Q}{\Delta T}$$
La primera ley de la termodinámica establece que $$\Delta U = Q -W$$ . Sin trabajo, podemos simplemente volver a organizarnos para $U$ : $$C_V = \left(\frac{\Delta U}{\Delta T}\right)_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right)_V $$
Ahora,
$$C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T} \right) = \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{Nfk_bT}{2}\right) = \frac{Nfk_b}{2}$$
Tenemos la relación que $$ nR = Nk_b$$
donde R es la constante de los gases y n es el número de moles. La ley de Dulong y Petit dice que hay 6 grados de libertad para un sólido, por lo que la capacidad calorífica por mol de una sustancia debe ser $3R$ .
La capacidad calorífica de una sustancia por unidad de masa, o $c$ se define como
$$c \equiv \frac{C}{m} $$
donde $m$ es la masa de la sustancia que estás midiendo. Así, la capacidad calorífica por unidad de masa por mol de un sólido te daría $$c = \frac{3R}{m}$$ .
