Yo lo explicaría así. Aquí hay tres maneras de pensar en ello: Se puede decir que todos los enfoques utilizan el "recuento" si se expresan así, pero en mi opinión lo importante es que se caracterizan por las órdenes que se tienen en cuenta cuando se hace el recuento.
1. La verdad real: las pelotas son diferentes y el orden importa. Esto es como imaginarse que de antemano se numeran $1,...,n, n+1,...,n+ m$ . Así que, al igual que en la vida real, las bolas son en realidad objetos diferentes y la bola 1 seguida de la bola $n+3$ es diferente de tirar de la pelota $n+7$ seguido de la pelota $2$ aunque en ambas situaciones se haya escogido un par de bolas de distinto color.
Así que, pensando en esta línea, el denominador es el número de formas de escoger dos bolas cualesquiera del $m+n$ bolas distintas que tienes, que es $$ (m+n)(m+n-1) $$ El numerador es el número de formas de sacar una bola roja y una blanca. Si elijo primero la roja, hay $m$ opciones para la bola roja y para cada elección de bola roja hay $n$ posibilidades de la bola blanca. A esto hay que añadir el número de formas de elegir primero la blanca y luego la roja, que es $nm$ por lo que hay $2mn$ formas de coger bolas de diferentes colores. $$ \text{Answer} = \frac{2mn}{(m+n)(m+n-1)}. $$
2. Enfoque "secuencial": Voy a rozar esto un poco ya que lo tienes bien. Usando la ley de la probabilidad total: \begin{eqnarray} & \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls}\Bigr) \\ &= \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} \cap \text{White first}\Bigr) + \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} \cap \text{Red first}\Bigr) \end{eqnarray} Podría detenerme aquí y calcular cada uno de esos dos términos contando. Obtendría $$ \frac{mn}{(m+n)(m+n-1)} + \frac{mn}{(m+n)(m+n-1)}, $$ porque, como vimos anteriormente, el número de formas de elegir una bola de diferente color en el que se elige primero el rojo es $mn$ y lo mismo si eliges el blanco primero. O podemos seguir utilizando la probabilidad condicional, para ver realmente la forma de pensar "secuencial": \begin{eqnarray} &= \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} | \text{White first}\Bigr)\mathbb{P}(\text{White first}) + \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} | \text{Red first}\Bigr)\mathbb{P}(\text{Red first}) \\ &= \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} | \text{White first}\Bigr)\frac{n}{m+n} + \mathbb{P}\Bigl(\text{Select different colour balls} | \text{Red first}\Bigr)\frac{m}{m+n} \\ &= \mathbb{P}\Bigl(\text{Second ball is Red} | \text{White first}\Bigr)\frac{n}{m+n} + \mathbb{P}\Bigl(\text{Second ball is White} | \text{Red first}\Bigr)\frac{m}{m+n} \\ &= \frac{m}{m+n-1}\frac{n}{m+n} + \frac{n}{m+n-1}\frac{m}{m+n} \\ &= \frac{2mn}{(m+n)(m+n-1)} \end{eqnarray}
3. Enfoque de recuento": El orden no importa . Aquí ni siquiera estamos imaginando que metemos la mano y cogemos una bola antes de la siguiente. Sólo estamos preguntando por el demoninador: ¿Cuántos conjuntos de 2 bolas hay de la colección $m+n$ ¿Bolas? $$ \binom{m+n}{2} = \frac{(m+n)!}{(m+n-2)!2!} = \frac{1}{2}(m+n)(m+n-1) $$ Para el numerador, ¿cuántos conjuntos de dos bolas de distinto color hay de la colección de $m+n$ ¿pelotas? Para darle un giro diferente, fíjate en que tiene que ser el tamaño de todos los subconjuntos de 2 bolas menos los subconjuntos que son ambos rojos y menos los subconjuntos que son ambos blancos, por lo que tenemos \begin{eqnarray} & \frac{1}{2}(m+n)(m+n-1) - \binom{m}{2} - \binom{n}{2} \\ &= \frac{1}{2}\Bigl((m+n)(m+n-1) - m(m-1) - n(n-1)\Bigr) \\ & = mn \end{eqnarray} Dando $$ \text{Answer} = \frac{mn}{\frac{1}{2}(m+n)(m+n-1)} $$
En estos problemas, realmente se elige un espacio de probabilidad diferente según el "enfoque" que se adopte. Así que para el número 3, es como si eligieras el espacio de probabilidad para consistir en 2 conjuntos de la colección de $m+n$ bolas, y es imposible distinguir la ordenación dentro de un determinado conjunto de 2. Mientras que en los números 1. y 2., el espacio de probabilidad está formado por tuplas como (1, $m+2$ ), lo que significa que has elegido primero la bola 1 (roja) y luego la bola $m+2$ (rojo).
