Me piden que demuestre que un espacio topológico de Frechet $(X,\tau)$ es normal si y sólo si para todo subconjunto cerrado B y todo conjunto abierto $U(B)$ que contiene a B existe otro subconjunto abierto $V(B)$ que contenga a B de forma que $\overline{V(B)} \subseteq U(B)$ . Lo que he probado hasta ahora para el $\rightarrow$ dirección es considerar $(X-U(B))$ que es cerrado y luego tomar un conjunto abierto $V(X-U(B))$ que existe porque es un espacio normal creo que $X/(V(X/U(B))) \subseteq U(B)$ pero no estoy seguro de esto. Para la otra dirección no tengo ni idea de qué hacer.
Respuesta
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Si $B \subseteq U(B)$ consideramos efectivamente los subconjuntos cerrados disjuntos $B$ y $X\setminus U(B)$ . Hay abiertos disjuntos $V(B) \supseteq B$ y $W(B)\supseteq X\setminus U(B)$ . La última inclusión también puede escribirse de forma equivalente como $X\setminus W(B) \subseteq U(B)$ y como $V(B)$ y $W(B)$ son disjuntos tenemos $V(B) \subseteq X\setminus W(B)$ .
Por lo tanto, $B \subseteq V(B) \subseteq \overline{V(B)} \subseteq \overline{X\setminus W(B)} = X\setminus W(B) \subseteq U(B)$ según sea necesario, utilizando ese $X\setminus W(B)$ está cerrado.
La otra dirección es similar: supongamos que $A$ y $B$ son conjuntos cerrados disjuntos, entonces aplicamos la condición al conjunto cerrado $A$ y su barrio abierto $X\setminus B$ y obtener $V$ abrir con $A \subseteq V$ y $\overline{V} \subseteq X\setminus B$ y entonces es fácil comprobar que $V$ y $X\setminus \overline{V}$ son vecindades abiertas disjuntas de $A$ y $B$ respectivamente.
