Sistema y determinante

Question

Suponemos que el siguiente determinante es igual a cero:

$$\det A=\begin{vmatrix} -x&1&1&1\\ 1&-y&1&1\\ 1&1&-z&1\\ 1&1&1&-t\\ \end{vmatrix}=0$$

con $x$ , $y$ , $z$ , $t$ enteros positivos. Entonces,

$$\det A=(xt-1)(yz-1)-(x+t+2)(y+z+2)$$

Tengo que determinar los enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ , $d$ del sistema $Ar=0$ con $r=[a;b;c;d]$ con $a!=b!=c!=d $ . El sistema no tiene la solución trivial, pero ¿qué tengo que pensar?

Answer 1

Consideremos el sistema de ecuaciones lineales que determina $(a,b,c,d)$ : $$ \begin{cases} \begin{align} -xa+b+c+d&=0\\ a-yb+c+d&=0\\ a+b-zc+d&=0\\ a+b+c-td&=0 \end{align} \end{cases}\tag{1} $$ Restando por pares las ecuaciones se obtiene: $$ a:b:c:d=\frac{1}{1+x}:\frac{1}{1+y}:\frac{1}{1+z}:\frac{1}{1+t}.\tag{2} $$ Multiplicando el lado derecho por $(1+x)(1+y)(1+z)(1+t)$ resulta en la solución entera: $$ \begin{cases} a=(1+y)(1+z)(1+t),\\ b=(1+x)(1+z)(1+t),\\ c=(1+x)(1+y)(1+t),\\ d=(1+x)(1+y)(1+z). \end{cases}\tag{3} $$ Se puede comprobar fácilmente que la sustitución de los valores de (3) en cualquiera de las ecuaciones (1) da como resultado la expresión de $\det A$ es decir $0$ .

Como se ve en (2) la condición $a\ne b\ne c\ne d$ implica $x\ne y\ne z\ne t$ . Aunque no es inmediatamente obvio, por fuerza bruta se descubre que efectivamente existen seis soluciones de este tipo: $$ (1,2,6,41),\\ (1,2,7,23),\\ (1,2,8,17),\\ (1,2,9,14),\\ (1,3,4,19),\\ (1,3,5,11). $$ Los vectores correspondientes $(a,b,c,d)$ puede calcularse a partir de (3). Por ejemplo, para $(1,3,5,11)$ lo es: $$ (4\times6\times12,\,2\times6\times12,\,2\times4\times12,\,2\times4\times6)\sim(6,3,2,1). $$