Para $\mathbb{N}$ una estructura en $\mathcal{L}=\{s, 0, 1\}$ ¿son definibles la suma y el producto?

Question

Leer sobre la interpretabilidad me hizo pensar en la $s$ función que de alguna manera siempre me molestó en el lenguaje de la AP. Mi pregunta es la siguiente

Dado $\mathbb{N}$ como una estructura en $\mathcal{L}=\{s, 0, 1\}$ (entendido de la manera habitual), ¿son definibles las operaciones de suma y producto?

En un sentido más amplio, me pregunto si hay alguna forma de evitar una definición recursiva al intentar describir estas funciones. Para $\mathbb{N}$ seguramente sí, ya que se pueden describir explícitamente las funciones con un número infinito de frases de la forma $s(0)+s(0)=ss(0)$ y $s(0)*s(0)=s(0)$ (aunque esto, por supuesto, no las hace definibles), sin embargo, con modelos más grandes de AP estas frases podrían no ser suficientes.

Answer 1

¿Estás familiarizado con la eliminación de cuantificadores? $Th(\mathbb{N})$ tiene la eliminación del cuantificador en $\mathcal{L}$ por lo que tampoco $+$ ni $.$ son definibles en $\mathcal{L}$ .