Partícula libre en una banda de Möbius: condición de contorno

Question

Acabo de ver este vídeo ( https://youtu.be/np6_1k99oRA ) y este tipo trató de calcular los valores propios de una partícula libre en una banda de Möbius utilizando la condición de contorno en el rectángulo $[-\infty,\infty]\times [-w/2,w/2] $ , $\psi(x+L,y)=\psi(x,-y)$ y $\psi(x,\pm w/2)=0$ donde $L$ es la longitud de la banda.

Esto tiene sentido para mí.

Consideremos ahora la situación en la que la partícula puede estar en una cara de la banda o en la cara opuesta. Aquí surgen problemas de orientación de la banda, pero, a pesar de que la banda no es orientable, sí lo es localmente (cada punto tiene una vecindad orientable).

En otras palabras, ahora la partícula puede ir a la otra cara de la tira de dos maneras.

• recorren toda la franja
• pasar a la otra cara de la franja por efecto túnel

En otras palabras, estoy pensando en 3 hojas con la condición de contorno de la banda de Möbius: en 2 de ellas la partícula es libre de moverse, la tercera se coloca entre las otras y en esta hoja se coloca un potencial delta.

Así que yo esquematizaría la situación considerando un dominio $ [-\infty,\infty] \times [-w/2,w/2] \times[-\epsilon,\epsilon]$ con la condición de contorno $\psi(x,\pm w/2,z)=\psi(x,y,\pm \epsilon)=0$ y $\psi(x+L,y,z)=\psi(x,-y,-z)$ . Yo definiría un potencial como $V(z)=\delta(z)$

Las preguntas son:

1. Si este razonamiento es correcto ¿cómo puedo volver al caso de uniones de espacios bidimensionales (las 3 hojas)? cuándo y cómo puedo hacer el límite $\lim_{\epsilon \to 0^+}\psi$ ?
2. Si pensamos en la franja como "unión de 3 hojas" estamos considerando un espacio no conectado y una partícula que puede "saltar" entre componentes no conectados. Esto es muy extraño. ¿Tiene algún sentido? ¿Hay alguna manera de evitar este problema?
3. Si nuestro propósito es calcular la probabilidad de que la partícula se desplace a lo largo de una longitud $L$ sin ir a la otra cara ( $z \to -z$ ) por efecto túnel, ¿qué tenemos que hacer?
4. ¿Hay alguna forma de resolver el problema sin introducir la tercera dimensión? (con una condición de contorno adecuada en el rectángulo $[-\infty,\infty]\times [-w/2,w/2] $ (o en otros dominios)
5. Si la respuesta a la 4. es "sí", ¿cuáles son las condiciones de contorno adecuadas?
6. Físicamente, ¿qué implica la no orientación?

Answer 1

Esta condición significa que la partícula es libre de voltear al otro lado de la tira y esto me suena raro.

No tengo ni idea de lo que quieres decir con esto, pero me parece que si estás hablando de "lados" de una banda de Möbius entonces ya vas mal. Las condiciones de las que hablas están obviamente describiendo una partícula en el "plano", banda de Möbius topológica que se obtiene identificando dos aristas opuestas del cuadrado unitario.

Francamente, la parte importante del calificador de la banda de Möbius es el requisito de que $$ \psi(x+L,y) = \psi(x,-y), $$ es decir, que una traslación en una dirección invierte completamente el espacio en la dimensión ortogonal. Lo que se haga en esa dimensión es francamente bastante irrelevante, pero tus elaboraciones (en particular tu primera propuesta) me parecen bastante inútiles.

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Edición: su pregunta actualizada, en la formulación

En otras palabras, ahora la partícula puede ir a la otra cara de la tira de dos maneras.

• recorren toda la franja
• pasar a la otra cara de la franja por efecto túnel

tiene suficiente sentido como para ser contestado, aunque sus intentos de hacerlo van en la dirección equivocada. El lugar donde te equivocas es en el dominio que propones,

esquematizaría la situación considerando un dominio $ [-\infty,\infty] \times [-w/2,w/2] \times[-\epsilon,\epsilon]$

que es un dominio tridimensional que intenta modelar un objeto fundamentalmente bidimensional.

Lo que se necesita, en definitiva, son dos copias diferentes del cuadrado unitario, para modelar las dos caras diferentes del cuadrado unitario ( $\cong$ rectángulo) que se tuerce y se pega para hacer la tira de Möbius. La respuesta es la obvia: ¡sólo hay que hacer dos copias explícitas! El dominio correcto es pues $$ \mathcal D = [-\infty,\infty] \times [-w/2,w/2] \times \{1,-1\}, $$ un dominio continuo en producto directo con un conjunto discreto de cardinalidad $2$ . Así, su función de onda es un objeto de la forma $\psi_i(x,y)$ , donde $i=1,2$ , $x \mathbb R/L$ y $-w/2\leq y\leq w/2$ .

Para terminar, necesitas dos cosas:

1. Las condiciones de contorno, que vienen dadas por $$ \psi_i(x+L,y) = \psi_{-i}(x,-y), \tag 1 $$ es decir, una traducción de $L$ invierte la orientación del $y$ eje, y también cambia la cara de la banda en la que se encuentra. (¿Quieres convencerte de que este es el enfoque correcto? Corta una tira larga de papel y dibuja un conjunto de $x,y$ ejes en una cara y etiquetarla $1$ . Luego dale la vuelta, etiqueta la otra cara $2$ y dibujar un conjunto de ejes trazando directamente los del otro lado. Luego forma la banda de Möbius, y verás cómo los dos parches de coordenadas se conectan como en $(1)$ .)

2. El hamiltoniano, que dará cuenta del movimiento de la partícula libre así como de la tunelización de una cara a otra. Esto es muy simple: $$ \hat H \psi_i(x,y) = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi_i(x,y) +t\,\psi_{-i}(x,y), \tag 2 $$ donde $t$ es una constante de túnel con dimensiones de energía.

Eso es todo lo que necesitas. Voy a dejar a usted para trabajar en las funciones propias de este problema.

Answer 2

No tiene sentido hablar de una partícula libre en una banda de Möbius porque una banda de Möbius tiene un límite que constriñe a la partícula "libre". Esto es un oxímoron. Por ejemplo, una partícula en una caja no es "libre"; es atrapado por un potencial infinito en las paredes. ("Libre dentro de ", que el OP no declaró, no es lo mismo que "libre", que el OP sí declaró). Lo que tiene sentido es una partícula libre en una botella de Klein, que no tiene límites.

Las condiciones de contorno para una partícula libre en una botella de Klein con coordenadas en $[0,W]\times[0,H]$ debe ser

$$\psi(0,y)=\psi(W,H-y),$$

$$\psi(x,0)=\psi(x,H).$$

Hay que pensar en una botella de Klein como un toroide "retorcido" en el que se identifican dos de las aristas opuestas, que van en la misma dirección, y se identifican las otras dos, pero que van en dirección contraria.