Generalización de una fórmula de distancia para líneas y puntos en dos dimensiones

Question

Una línea se define por $ (x, y) = o + tv $ donde o es el punto de origen y v es el vector de dirección, y t es un número real.

Tengo algún punto p que puede no estar en dicha línea, y quiero encontrar la distancia a la línea. Estaba pensando que podría utilizar la normal de la línea, es decir $ n = (-v_y, v_x) $ , para encontrar qué múltiplo sale entonces como en la línea, es decir, encontrar para que $ p + n = o + tv $ entonces la distancia sería $ ||n|| $ .

Así que resuelvo para , y obtengo

$$ (p_x + n_x, p_y + n_y) = (o_x + tv_x, o_y + tv_y) $$

Dos incógnitas, dos ecuaciones debería funcionar. Resuelve para t entonces ,

$$ t = (p_x + n_x - o_x)\frac{1}{v_x} $$

$$ t = (p_y + n_y - o_y)\frac{1}{v_y} $$

La igualdad de los dos da

$$ (p_y + n_y - o_y)v_x = (p_x + n_x - o_x)v_y $$

$$ \implies (p_y - o_y)v_x - (p_x - o_x)v_y = (n_x)v_y - (n_y)v_x $$

$$ \implies = \frac{ (p_y - o_y) v_x - (p_x - o_x) v_y }{ n_x v_y - n_y v_x } $$

Desde $ n = (-v_y, v_x) $ ,

$$ = - \frac{(p_y - o_y, o_x - p_x)·v}{v·v} $$

Esto parece demasiado fácil para ser verdad y no parece funcionar, ¿por qué no?

Edición: Se ha cambiado la forma de definir el vector normal, se han corregido errores de cálculo

Answer 1

La distancia $d(p,L)$ entre un punto $p$ y una línea $L$ se define como el mínimo de $\|p-x\|$ para $x\in L$ . Si utilizamos su parametrización de $L$ como $o+tv$ , $t\in \mathbb{R}$ entonces $d(p,L)=\min_{t\in\mathbb{R}} \|o+tv-p\|$ . Ahora bien, si el mínimo se produce en $t_0$ entonces el mínimo de $f(t)=\|o+tv-p\|^2$ también se produce en $t_0$ y viceversa.

Utilicemos el cálculo para encontrar $t_0$ : Nuestra función $f(t)$ puede reescribirse como $$ f(t)= (o_x+tv_x-p_x)^2 + (o_y+tv_y-p_y)^2.$$ Diferenciando esto y fijando el resultado igual a $0$ da $$ 0=2v_x(o_x+tv_x-p_x) + 2v_y(o_y+tv_y-p_y).$$ Entonces \begin{align} 0 &= v_x(o_x-p_x) + v_y(o_y-p_y) + (v_x^2+v_y^2)t, \end{align} así que $$ t = \frac{v\cdot(p-o)}{\|v\|^2}. $$ Dado que la segunda derivada de $f$ es $2(v_x^2+v_y^2)>0$ , $f$ debe tener un mínimo local en este $t$ . Pero esto $t$ es el único punto crítico de $f$ en toda la línea real, por lo que $f$ debe tener de hecho un mínimo global allí. Por lo tanto, este $t$ debe ser de hecho $t_0$ .

Así, \begin{align} d(p,L)&=\sqrt{f(t_0)}\\ &=\left\|o-p+\frac{v}{\|v\|}\,\frac{v\cdot(p-o)}{\|v\|}\right\| \\ &=\left\|p-o-\operatorname{proj}_v (p-o)\right\|. \end{align}