Es $f(x)=\frac{\cos \left(x\right)}{1+x^2}$ ¿uniformemente continua?

Question

Considere $f:[0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}$ : $$f(x)=\frac{\cos \left(x\right)}{1+x^2}$$ Es $f$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ ?

Hasta ahora he tratado de ligar la derivada de esto, pero me sale: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos \left(x\right)}{1+x^2}\right)=-\frac{\left(x^2+1\right)\sin \left(x\right)+2x\cos \left(x\right)}{\left(x^2+1\right)^2},$$ y no puedo ver cómo atar eso.
Pensé en usar con $\epsilon -\delta \:$ definiton pero se quedó atascado allí también.
¿Alguna otra idea? Gracias de antemano.

Answer 1

Sí, $f$ es uniformemente continua. Como $\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ , dado $\epsilon > 0$ existe un número entero positivo $N$ tal que $|f(x)| < \epsilon/2$ para todos $x \ge N$ . Desde $f$ es continua en el intervalo cerrado $[0,N]$ es uniformemente continua en $[0,N]$ . Así que existe $\delta > 0$ tal que para todo $x,y\in [0,N]$ , $|x - y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon/2$ . Dado $x,y\in [0,\infty)$ con $|x - y| < \delta$ , ya sea

1. $x,y\in [0,N]$ , lo que implica

$$|f(x) - f(y)| < \frac{\epsilon}{2} < \epsilon.$$

2. $x\in [0,N], y\in [N,\infty)$ , lo que implica

$$|f(x) - f(y)| \le |f(x) - f(N)| + |f(N) - f(y)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$

3. $x,y\in [N,\infty)$ , lo que implica

$$|f(x) - f(y)| \le |f(x)| + |f(y)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.$$

4. $x\in [N,\infty), y\in [0,N]$ -- similar a $2$ .

Así que para todos $x,y\in [0,\infty)$ , $|x - y| < \delta$ implica $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ . Desde $\epsilon$ era arbitraria, $f$ es uniformemente continua en $[0, \infty)$ .

Nota. Siguiendo este argumento, se puede demostrar de forma más general que si $f :[0,\infty) \to \Bbb R$ es continua, de manera que $\lim_{x\to \infty} f(x) = 0$ entonces $f$ es uniformemente continua.

Answer 2

Encuadérnalo de esta manera $$\left|\frac{\left(x^2+1\right)\sin \left(x\right)+2x\cos \left(x\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\leq\frac{(x^2+1)|\cdot|\sin(x)|+2|x|\cdot|\cos(x)|}{|x^2+1|^2}\leq\frac{x^2+1+2|x|}{(x^2+1)^2}\\=\frac{(|x|+1)^2}{(x^2+1)^2}<1$$ para $x$ grande.

La continuidad uniforme en algún intervalo $[0,M]$ cerca de $0$ , para $M$ grande (en realidad $M=1$ es lo suficientemente grande) pasa por el teorema de Cantor.