La forma de escribir la densidad de carga superficial $\sigma(\vec r)$ en una superficie $S$ como lo es la densidad de carga (de volumen): $$\rho(\vec r) = \int_S d\Sigma(\vec r')\, \sigma(\vec r') \delta(\vec r - \vec r').$$ Dónde $d\Sigma$ es la medida de la superficie. La integral recorre la superficie $S$ .
Intuitivamente, se representa la carga de la superficie como una suma de cargas puntuales infinitesimales distribuidas por la superficie (cada punto de la superficie lleva una carga puntual $d\Sigma(\vec r) \sigma(\vec r)$ y $d\Sigma$ es infinitesimalmente pequeño).
Como simple comprobación de plausibilidad se puede calcular la carga total: \begin{align*} Q &= \int d^3r\,\rho(\vec r) = \int d^3r \int_S d\Sigma(\vec r')\,\sigma(\vec r') \delta(\vec r - \vec r') \\ &= \int_S d\Sigma(\vec r')\, \sigma(\vec r') \underbrace{\int d^3r\, \delta(\vec r - \vec r')}_{=\,1}. \end{align*} Obviamente, este es el resultado esperado. ( $\delta(\vec r - \vec r')$ integrado en todo el espacio es obviamente $1$ para cualquier $\vec r'$ .)
Quiero añadir que hay más cosas que saber sobre este tema si uno está interesado en el rigor: En términos más matemáticos $\rho$ no es una función, sino una medida (al igual que las distribuciones de probabilidad no son funciones, sino medidas). Para manejar esto hay que definir lo que se supone que significa una medida en el lado derecho de una ecuación diferencial (y eso nos lleva a la teoría de funciones generalizadas, distribuciones y derivadas débiles).
