Notación de suma con matriz/vector (y números de Bernoulli)

Question

Me encontré con una notación que no me resultaba familiar ( Números de Bernoulli ) que reproduzco a continuación

$$ \sum_{j=0}^{n} \left(\begin{array}{cl} n+1\\ j\\ \end{array}\right) B_j = 0 \hspace{1cm} with \hspace{1cm} B_0 = 1$$

No estoy seguro de cómo abordar esta notación, ni de cómo utilizarla para producir los números de Bernoulli. Además, como algo más, los autores de la fuente dicen que la fórmula se puede reproducir a partir de

$$ \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{x^n}{n!} \hspace{1cm} |x|<2\pi $$

"multiplicando ambos lados por $e^x1$ utilizando el producto de Cauchy con la serie de Maclaurin para $e^x1$ y luego igualar los coeficientes de las potencias de $x$ ."

Answer 1

La identidad dada permite calcular el Número de Bernoulli $B_n$ para $n\geq 1$ recursivamente. Obsérvese que $\binom{n+1}{j}$ no es un vector, es un número entero llamado coeficiente binomial .

Aislando el último término de la suma obtenemos la fórmula: $$B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n+1}{j}B_j.$$ Por ejemplo, ya que $B_0=1$ se deduce que $$\begin{align} B_1&=-\frac{1}{1+1}\sum_{j=0}^{1-1}\binom{1+1}{j}B_j=-\frac{B_0}{2}=-\frac{1}{2},\\ B_2&=-\frac{1}{2+1}\sum_{j=0}^{2-1}\binom{2+1}{j}B_j=-\frac{B_0}{3}-\frac{3B_1}{3}=\frac{1}{6}. \end{align}$$ ¿Es usted capaz de calcular $B_3$ ?

En cuanto a una prueba de las funciones generadoras exponenciales de los números de Bernoulli, puede echar un vistazo AQUÍ .