Visualización del fractal l-ádico en la función de partición p(n)

Question

Esta página http://www.aimath.org/news/partition/ y esta conferencia de youtube http://www.youtube.com/watch?v=aj4FozCSg8g hablar de un fractal en los valores de la función de partición p(n).

"Demostramos que los números de partición son 'fractales' para cada primo".

La idea de fractal para mí tiene connotaciones muy visuales, así que me preguntaba si había una manera de visualizar los fractales de la función de partición de alguna manera. ¿Son una bonita imagen 2d si se formatea inteligentemente?

Answer 1

Yo no me tomaría el término "fractal" demasiado en serio (o, al menos, demasiado visualmente).

Básicamente, demuestran que la función generadora de $p(n)$ (que resulta ser una forma modular) tiene buenas propiedades de congruencia módulo de potencias de $p$ cuando se golpea con el $U_{p^2}$ operador repetidamente. Este último operador tiene el efecto $\sum a_nq^n\mapsto \sum a_{p^2n}q^n$ en la serie generadora, por lo que puede considerarse, de forma general, como " $p$ -además de acercarse" a la expansión. De ahí que el $p$ -diverso giro fractal de la frase.

Answer 2

Pues bien, la función de partición está definida para números enteros positivos, por lo que es discreta e intrínsecamente unidimensional. Estas propiedades hacen más difícil crear "bonitas imágenes fractales" a partir de esta función.

Sin embargo, la función de Collatz, (multiplicar por 3 y añadir 1 si impar, dividir por 2 si es par), también tiene estas propiedades. Sin embargo, la función de Collatz puede extenderse analíticamente a una función completa, e iterar esta función como cuando se construye un conjunto de Julia, SI crea imágenes que uno esperaría.

El 99% de los fractales que he encontrado se obtienen por recursión de alguna manera, así que puede que necesites encontrar dicha recursión de alguna manera en el cálculo de la función theta. Si esto es posible, entonces podrías ser capaz de hacer bonitos dibujos.

No he visto la película, pero parece que hay alguna secuencia que finalmente se convierte en un múltiplo de 5. Ahora bien, esto me suena a cálculos de tiempo de escape, así que si esto se puede extender de manera continua (preferiblemente analítica), entonces podrías tener un fractal.