Convergencia puntual, convergencia uniforme y convergencia casi uniforme de series infinitas $f_n = x^2 e^{-nx}$

Question

Por favor, ayúdenme a demostrar / declinar la convergencia puntual, la convergencia uniforme y la convergencia casi uniforme (convergencia uniforme comapacta) de

$\sum_{n=1}^{\infty} f_n$ donde

$f_n : [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ,

$f_n = x^2 e^{-nx}$ para $x\in[0, +\infty)$ ,

$x\in \mathbb{R}$ y $n \geq 1$

Este es un ejemplo de una larga lista en mi tarea, quiero ver cómo resolver este tipo de problema en él, entonces voy a hacer el resto.

Gracias de antemano.

Answer 1

Su función converge puntualmente (¡comprueba esto!) sobre $x>0$ a $$\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}}$$ y como $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}}=0$$ podemos decir que converge puntualmente a ella en todo $x\geq 0$ . Queremos demostrar que dado $\epsilon >0$ existe un $N$ tal que para cualquier $x\geq 0$ $$\left| {{x^2}\sum\limits_{k = 1}^n {{e^{ - kx}}} - \frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}}} \right| < \epsilon$$

siempre que $n\geq N$ .

Esto es siempre cierto si $x=0$ , por lo que se supone que $x>0$ . Podemos entonces escribir lo anterior como

$$\frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}}{e^{ - x\left( {n + 1} \right)}} <\epsilon$$

Ahora, usa $$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^2}}}{{{e^x} - 1}} = 0 \cr & \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {e^{ - nx}} = 0 \cr}$$

y $${e^{ - x\left( {n + 1} \right)}} < {e^{ - xn}}$$ para concluir.