Prueba de la razón de verosimilitud de la distribución logarítmica normal

Question

$X_{1},X_{2}, … , X_{n}$ sea una muestra aleatoria de un $(\theta, 1)$ distribución. En lugar de observar $X_{1},X_{2}, … , X_{n}$ , $Y_{1},Y_{2}, … , Y_{n}$ se observó que $Y_{}= ^{X_{i}}$ . Encuentre la región crítica de la prueba de la razón de verosimilitud, para probar la hipótesis $_{0}: \theta= 1$ contra $_{1}: \theta\neq 1$ basado en la muestra aleatoria $Y_{1},Y_{2}, … , Y_{n}$
(para algunos $c_{1} \leq c_{2,}$ ).

Puedo decir que la distribución logarítmica normal pertenece a la familia exponencial y por lo tanto la región de rechazo sería $log\sum Y_{i} \leq c_{1}$ o $log\sum Y_{i} \geq c_{2}$ .

Inicialmente intenté tomar la proporción (como en la definición de LRT) pero me quedé atascado. ¿Es la región obtenida mediante el estadístico suficiente, como se indica más arriba, el enfoque correcto?

Answer 1

• $\log\sum\limits_i Y_{i}$ no es una estadística suficiente para este $Y$ ; tampoco es $\sum\limits_i Y_{i}$ .

• $\prod\limits_i Y_{i}$ es una estadística suficiente,

• su logaritmo $\sum\limits_i \log Y_{i}$ también es una estadística suficiente.

Cualquiera de estos dos últimos podría utilizarse para definir una región de rechazo. Esta última podría ser más fácil de explicar, ya que $\log Y_{i}$ tiene una distribución normal; de hecho, si se observa $Y_i$ entonces se conoce el valor de $X_i= \log Y_i$