Dejemos que $X$ sea un espacio tal que para cualquier subconjunto $S \subset X$ con cardinalidad finita $n$ el subespacio $X \setminus S$ tiene exactamente $n+1$ componentes conectados, cada uno de los cuales es homeomorfo a $X$ . ¿Existe ese espacio $X$ que no es homeomorfo a $\mathbb{R}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un ejemplo un poco barato. Considere la topología en $\mathbb{R}$ descrito en esta respuesta anterior . Como la topología es más fina que la habitual, la eliminación de cualquier punto desconecta el espacio, y es relativamente fácil ver que hay dos componentes conectados, cada uno de los cuales es homeomorfo al espacio original.
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Si eliminamos el "cada uno de los cuales es homemorfo a $X$ ", la línea larga es un espacio de este tipo.
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Es $n$ ¿se ha solucionado este problema?
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@GrumpyParsnip Basta con tomar $n=1$ .
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$(0,1) \times (0, 1)$ no funciona, pero creo que $(0, 1) \times [0, 1]$ lo hace.
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@NielsDiepeveen Si quitamos un punto del centro, el resultado es conectado.
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@AlexBecker: No estaba pensando en la topología habitual sino en la de orden lexicográfico, como en la pregunta original.
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@AlexBecker Estoy de acuerdo en que basta con resolverlo para $n=1$ . Es posible que puedas encontrar un espacio en el que funcione para $n=2$ y no $n=1$ sin embargo, ¿o me estoy perdiendo algo?
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@NielsDiepeveen: Estoy de acuerdo. Creo que $(0,1)\times(0,1)$ funciona con la topología de orden.
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@NielsDiepeveen: Quitando un punto $\langle a, b \rangle$ (con $b> 0$ ) de $(0,1)\times[0,1]$ (con la topología de orden lex) da lugar a que una componente conectada sea homeomórfica a $((0,1]\times[0,1]) \setminus\{\langle 1,1 \rangle\}$ (con la topología de orden lex). No son homeomorfas, ya que se puede eliminar un punto de la segunda dando lugar a una componente conectada homeomorfa a la recta real, lo que no es posible en la primera.
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@NielsDiepeveen: oops, lo había olvidado $(0,1)\times (0,1)$ ¡tiene infinitos componentes! Así que, sí, supongo que ninguno de esos ejemplos funciona.
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@ArthurFischer: Lo siento, olvidé esa condición.