¿Por qué es $\int_0^{2\pi}\frac{\sin{(N+1/2)(x-y)}}{\sin{\frac{(x-y)}{2}}}dy=2\pi$ ?

Question

¿Por qué es $$\int_0^{2\pi}\frac{ \sin{(N+\frac{1}{2})(x-y)} }{ \sin(\frac{x-y}{2})}dy=2\pi$$ ?

Por alguna razón parece que $$ \frac{ \sin{(N+\frac{1}{2})(x-y)} }{ \sin(\frac{x-y}{2})}= 1 +\cos(\frac{x-y}{2})+\cos(2\frac{x-y}{2})+...+\cos(N\frac{x-y}{2})$$

Lo cual, de ser cierto, facilitaría mucho la respuesta a la pregunta anterior, pero el porqué de esa igualdad también es un poco ambiguo.

Answer 1

Es fácil comprobar que $$D_n(x) := \sum_{k=-n}^n \exp( ik x) = \frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}.$$ De hecho, este es un hecho estándar sobre el núcleo de Dirichlet $D_n$ . Así, tenemos $$\tag{1}\int_0^{2\pi} \frac{\sin((n+1/2)(x-y))}{\sin((x-y)/2)} \mathrm{d} x = \sum_{k=-n}^n \int_0^{2\pi} \exp( ik (x-y)) \, \mathrm{d} x.$$ Si $k \neq 0$ tenemos $$\int_0^{2\pi} \exp( ik (x-y)) \, \mathrm{d} x = \frac{\exp(ik(2\pi -y)- \exp(-iky)}{ik} =0.$$ Así, en (1) sólo tenemos el término $k=0$ y la contribución de este término es $2\pi$ .