Hola, estoy intentando averiguar cómo encontrar los puntos fijos de una función a trozos y hacer un análisis de estabilidad. Uno de los exámenes pasados en este curso de sistemas complejos que estoy haciendo tiene esta pregunta:
Considere el mapa $f_\beta:[0,1]\to[0,1]$ definido por: $$f_\beta(x)=\begin{cases} \frac x\beta\:\:\,\,\text{ if }0\leq x\leq\beta \\ \frac{1-x}{1-\beta}\text{ if }\beta<x\leq 1 \end{cases}$$ donde $0<\beta<1$ . Encuentra los puntos fijos del mapa y determina su estabilidad lineal.
Mis conocimientos de matemáticas no son sorprendentes, sólo álgebra, algo de cálculo, álgebra lineal, probabilidad, etc. Pero no a un nivel de experto. He hecho un curso de introducción a los sistemas complejos que pretendía enseñar todas las matemáticas necesarias, y lo entendí bastante bien. Pero esta pregunta me confunde mucho.
Mi instinto inicial es poner $\frac{df_\beta(x)}{dx}=0$ y resolver para $x$ para obtener los puntos fijos. Pero, por supuesto, esto es imposible porque ambas partes de la función son lineales.
Sin embargo, si evaluamos la función en ciertos puntos encontramos que $f_\beta(x)=x$ . Por ejemplo:
$$x^*=0=f_\beta(x^*)$$
En las respuestas proporcionadas para esta pregunta se dice que otro punto fijo es $x^*=\frac1{2-\beta}$ . Pero no sé cómo se llegó a ella.
En primer lugar, me gustaría saber cómo se llega a obtener los puntos fijos sin limitarse a introducir valores y hacer pruebas. Además, ¿cómo es que esto no coincide con el método de establecer la derivada a $0$ y resolviendo para $x$ cuando esto funciona con polinomios? Por último, ¿cómo se puede empezar a hacer un análisis de estabilidad cuando ni siquiera se puede encontrar la segunda derivada (creo que este fue el método anterior que me enseñaron para un análisis de estabilidad)?
