Es $C_2$ el Grupo de Galois correcto de $f(x)= x^3+x^2+x+1$ ?

Question

Dejemos que $\operatorname{f} \in \mathbb{Q}[x]$ donde $\operatorname{f}(x) = x^3+x^2+x+1$ . Esto es, por supuesto, un polinomio ciclotómico. Las raíces son las cuartas raíces de la unidad, excepto $1$ en sí mismo. Me sale $\mathbb{Q}[x]/(\operatorname{f}) \cong \mathbb{Q}(\pm 1, \pm i) \cong \mathbb{Q}(i) = \{a+bi : a,b \in \mathbb{Q}\}.$

Dejemos que $\alpha : \mathbb{Q}(i) \to \mathbb{Q}(i)$ ser un $\mathbb{Q}$ -automorfismo. Tenemos: $$\alpha(a+bi) = \alpha(a)+\alpha(bi) = \alpha(a)+\alpha(b)\alpha(a)i = a+b\alpha(i).$$

Desde $\alpha(i)^2 = \alpha(i)\alpha(i) = \alpha(ii) = \alpha(-1)=-1$ tenemos $\alpha(i) = \pm\sqrt{-1} = \pm i$ . Hay entonces dos $\mathbb{Q}$ -automorfismos: la identidad con $\alpha(z)=z$ y el conjugado $\alpha(z)=\overline{z}$ .

Esto me dice que el Grupo de Galois es $S_2=\langle(12)\rangle.$ He estado utilizando el software GAP, y dice que el Grupo de Galois es $\langle(13)\rangle$ . Puedo ver que $\langle(12)\rangle \cong \langle(13)\rangle$ . Sin embargo, $\langle(13)\rangle < S_3$ . Mi sospecha es que porque $x^3+x^2+x+1$ es reducible sobre $\mathbb{Q}$ : $x^3+x^2+x+1 \equiv (x+1)(x^2+1)$ .

¿Me está diciendo GAP que el Grupo de Galois de $x^3+x^2+x+1$ es $C_1\times C_2$ ? ¿Cómo debo pensar en el Grupo de Galois de $x^3+x^2+x+1$ ? ¿Es así? $C_2$ ¿es un subgrupo de $S_3$ que es isomorfo a $C_2$ o es el producto $C_1 \times C_2$ . Me doy cuenta de que todo esto es isomorfo, pero ¿cuál es la mejor manera de pensarlo?

Answer 1

El grupo de Galois es el grupo de los automorfismos del campo de división. Actúa sobre las raíces de cualquier polinomio de división (como $f$ ) permutando las raíces. En tu caso, hay tres raíces, $-1, i, -i$ y los automorfismos deben dejar $-1$ arreglado. Como la acción también es gratuita, puede ver $G$ (mediante esta acción) como un subgrupo de $\operatorname{Sym}(\{-1,i,-i\})$ y de la que se trata como un solo elemento no trivial $(1)(i\ {-i})$ .