Producto de números complejos

Question

Dejemos que $z_1,z_2,\cdots,z_n$ ser algunos números complejos. Si $z_1z_2\cdots z_n$ es real y negativo, ¿es cierto que $r(z_1)r(z_2)\cdots r(z_n)$ ¿también es negativo? Aquí $r(z)$ representa la parte real de $z$ .

Answer 1

Considere $z_1 =z_2 = i$ . Entonces $z_1z_2 = -1$ sino el producto de las partes reales $0\cdot 0 = 0 $ no es negativo.

Answer 2

Para un ejemplo estrictamente positivo, dejemos que $\omega=\frac{1+i\sqrt{3}}2$ . Entonces $\omega^3=-1$ pero $\Re(\omega)^3=\frac{1}{8}$ .

Answer 3

Tenemos $i\cdot i=-1$ y sin embargo $\mathfrak{R}(i)\cdot \mathfrak{R}(i)=0\cdot 0 = 0$ .

Answer 4

La parte real de $i^2$ es $-1$ sino el producto de la parte real de $i$ es 0.

Answer 5

La multiplicación de los números complejos es, geométricamente, una rotación. Esto es lo que significa. El ángulo entre un número complejo y la recta de los números reales positivos se llama argumento . Cuando se multiplican dos números complejos, el argumento del producto resultante es la suma de los argumentos de los dos números. El argumento de un número real positivo es cero. El argumento de un número real negativo es 180 grados (o $\pi$ radianes, ya que lo más habitual es que el argumento se exprese en radianes). El argumento de $i$ es $\pi/2$ radianes, por lo que al multiplicar $i$ por $i$ el producto debe tener un argumento de $\pi$ radianes, lo cual es consistente con que sea $-1$ .

Así, cualquier conjunto de números complejos cuyos argumentos sumen $\pi$ (o a $\pi + 2\pi k$ , donde $k$ es un número entero) producirá un número real negativo si se multiplican juntos. Todos los números de este conjunto pueden tener una parte real mayor que cero. Es posible que todos los números de dicho conjunto tengan una parte real menor que cero, o cualquier mezcla.