Existencia de un vector no nulo y no negativo en $F\cup F^\perp$

Question

En $\mathbb{R}^n$ ( $n\ge 1$ ) dotado del producto punto habitual, para cualquier subespacio lineal $F$ ¿existe un vector no nulo con coordenadas no negativas en $F\cup F^\perp$ ?

Answer 1

Sí. Para dos conos convexos cerrados cualesquiera $C,D$ tenemos $(C+ D)^\circ=C^\circ\cap D^\circ$ , donde $C^\circ$ es el cono dual: $C^\circ=\{y\in\mathbf{R}^n:\forall c\in C:\langle y,c\rangle\ge 0\}$ . Un teorema de dualidad estándar es $C^{\circ\circ}=C$ para todo cono convexo cerrado $C$ . Por lo tanto, la doble igualdad se mantiene: $(C\cap D)^\circ=C^\circ+ D^\circ$ .

Dejemos que $P$ sea el cono de vectores no negativos. Apliquemos esto a $P$ y $F$ . Supongamos que $P\cap F=\{0\}$ . Entonces $(P\cap F)^\circ =\mathbf{R}^n$ . Desde $P^\circ=P$ y $F^\circ=F^\bot$ esto da como resultado $P+F^\bot=\mathbf{R}^n$ . Fijar cualquier $\xi\in P$ (esto requiere $n\ge 1$ que añadí discretamente a los supuestos). Entonces $-\xi=p+\eta$ para algunos $p\in P$ y $\eta\in F^\bot$ . Por lo tanto, $-\eta=p+\xi$ es un elemento no nulo en $P\cap F^\bot$ .

Answer 2

Sí. Esto se desprende de El lema de Farkas . Dejemos que $\vec{v}_1$ , $\vec{v}_2$ , ..., $\vec{v}_k$ sea una base de $F$ y que $\vec{e}_1$ , $\vec{e}_2$ , ..., $\vec{e}_n$ sea la base estándar de $\mathbb{R}^n$ . Supongamos que no hay ningún vector no negativo no nulo en $F^{\perp}$ . En otras palabras, supongamos que no hay ninguna solución no nula para las desigualdades lineales: $$\vec{v}_i \cdot \vec{x} = 0, \ 1 \leq i \leq k \qquad \qquad \vec{e}_j \cdot \vec{x} \geq 0, \ 1 \leq j \leq n.$$

Entonces el lema de Farkas nos dice que debe haber alguna relación lineal $$\sum a_i \vec{v}_i + \sum b_j \vec{e}_j = 0$$ con coeficientes no negativos (y no todos los coeficientes son cero). Entonces $- \sum a_i \vec{v}_i$ es un elemento de $F$ con entradas no negativas. Además, no podemos tener $- \sum a_i \vec{v}_i = 0$ como el $\vec{v}_i$ son linealmente independientes y el $\vec{e}_j$ también lo son.

Answer 3

¿Quiere una prueba elemental? Con esto me refiero a una prueba de cálculo, que no invoque a Hahn-Banach (el lema de Farkas implica a HB).

Dejemos que $P$ sea el proyector ortogonal sobre $F$ y $K$ sea el cono de vectores no negativos. Denotemos $S$ la esfera de la unidad. La función continua $x\mapsto\|Px\|$ alcanza su máximo sobre el subconjunto compacto no vacío $S\cap K$ en algún vector $a$ . Esto equivale a decir que $a$ maximiza $$f(x):=\frac{\|Px\|^2}{\|x\|^2}$$ en $K\setminus\{0\}$ .

Comparación de $f(a)$ con $f(a+t\vec e_i)$ encontramos que $\partial_{x_i}f(a)$ desaparece si $a_i>0$ y es $\le0$ si $a_i=0$ . Esto da $(Pa)_i=\lambda^2a_i$ , donde $\lambda=\|Pa\|/\|a\|\le1$ o $(Pa)_i\le0$ . Deducimos que el vector $b:=a-Pa$ pertenece a $K\cap F^\bot$ .

Si $b\ne0$ hemos terminado. Si en cambio $b=0$ entonces $a=Pa$ , lo que significa que $a\in F$ y nosotros también hemos terminado.

La prueba es similar cuando $K$ se sustituye por un cono convexo autodual.

Answer 4

Esto se demuestra en el Cor. 3', p. 309 de [1]. De hecho, Cor. 3' es aún más fuerte:

Sea $P$ sea el cono no negativo.
Si $F\cap P=\{0\}$ entonces $F^\perp\cap P^o\ne\emptyset$ es decir, $v_n>0\ \forall n$ para algunos $v\in F^\perp$ .

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/82596353.pdf Notas sobre desigualdades lineales, I: La intersección del ortante no negativo con subespacios ortogonales complementarios*. ADI BEN-ISRAEL, REVISTA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO Y APLICACIONES 9, 303-314 (1964)