Conjugación de un producto de ciclos disjuntos

Question

Para una determinada cuestión que tengo que hacer, tengo que utilizar el hecho de que si $a$ es cualquier permutación en $S_n$ y $\gamma = (i_1 \cdots i_j)$ es un ciclo, entonces $$a\gamma a^{-1} = (a(i_1) \cdots a(i_j)),$$ para algunos $K \leqslant S_4$ (Tengo que determinar $aKa^{-1} $ para todos $a \in S_4)$ donde $K$ tiene algunos elementos que son el producto de 2 ciclos. ¿Cómo puedo aplicar lo anterior a un producto de 2 ciclos (es decir, el lado derecho)?

Answer 1

Sólo hay que utilizar el hecho de que $\gamma \mapsto \gamma a \gamma^{-1}$ es un automorfismo interno del grupo . Lo que significa que para un producto de ciclos $c_1, \dots, c_m$ tienes

$$\gamma (c_1 \dots c_m) \gamma^{-1} = (\gamma c_1 \gamma^{-1}) \dots (\gamma c_m \gamma^{-1}).$$

Aplicado a $2$ -ciclos:

$$\gamma ((a_1 \ a_2) \dots \dots (r_1 \ r_2)) \gamma^{-1} = (\gamma(a_1) \ \gamma(a_2)) \dots (\gamma(r_1) \ \gamma(r_2)).$$