Negación de un enunciado: ¿falta efectivamente un cuantificador?

Question

Hay una tarea que parece que sigo haciendo mal. La pregunta es:

Niega la siguiente afirmación:

"Para cada número positivo $\epsilon$ hay un número positivo $\delta$ tal que |x-a| < $\delta$ implica que |f(x)-f(a)| < $\epsilon$ ".

Mi respuesta fue:

"Existe un número positivo $\epsilon$ , tal que para cada número positivo $\delta$ existe un x tal que |x-a| < $\delta$ y |f(x)-f(a)| $\geqslant \epsilon$ ".

En símbolos matemáticos esto es

$\exists \epsilon > 0, \forall \delta >0, \exists x, (|x-a|<\delta) \wedge(|f(x)-f(a)|\geqslant\epsilon)$

Pero la respuesta que recibí de mi profesor fue "¿para qué x,a? ¿Es esto cierto para todo x,a tal que |x-a|< $\delta$ o sólo para un conjunto de x.a?"

Parece que no puedo saber exactamente qué es lo que me falta. ¿Un cuantificador para un?

¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Una función $f:D\to\Bbb R$ es continua en $a\in D$ si $$\forall \epsilon\in\Bbb R^+~\exists \delta\in\Bbb R^+~\forall x\in D~~(\lvert x-a\rvert<\delta~\to~\lvert f(x)-f(a)\rvert <\epsilon)\tag 1$$

Así que una función $f:D\to\Bbb R$ es discontinuo en $a\in D$ si $$\exists \epsilon\in\Bbb R^+~\forall \delta\in\Bbb R^+~\exists x\in D~~(\lvert x-a\rvert<\delta~\land~\lvert f(x)-f(a)\rvert \geqslant\epsilon)\tag 2$$

Sin embargo, mientras que (2) es la negación de (1), (1) es no la declaración que ha citado: $$\forall \epsilon\in\Bbb R^+~\exists \delta\in\Bbb R^+~~(\lvert x-a\rvert<\delta~\to~\lvert f(x)-f(a)\rvert <\epsilon)\tag 3$$

$x$ y $a$ son variables libres en esa declaración. Deberían seguir siendo variables libres en su negación.

Answer 2

La declaración original es

$$\forall \epsilon > 0\quad \exists \delta >0 :\quad P(x,a)$$

y la negación es

$$\exists\epsilon > 0\quad \forall \delta >0: \quad \lnot P(x,a)$$

Answer 3

Podría estar equivocado, pero creo que su confusión radica en lo siguiente.

Usted tiene "... $\delta$ tal que $|x - a| < \delta$ implica $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ ". Implícitamente, esto significa "... $\delta$ tal que, para todo $x$ , ( $|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| \le \epsilon$ )" -- nótese el adicional "para todos $x$ " que antes no existía. Esta es la definición de "continuo en $a$ ". Por eso en la negación de "continuo en $a$ " tienes un "existe $x$ " pero nada que ver con $a$ ; $a$ es un número fijo al principio.

En general (pero no siempre), si se dice algo así sin cuantificador para $x$ significa "todos $x$ que satisfacen $\texttt{statement1}$ tenemos $\texttt{statement2}$ ", que en este caso es "para todos $x$ que satisfacen $|x - a| < \delta$ tenemos $|f(x) - f(a)| < \epsilon$ .

Otras respuestas muestran la solución correcta, pero espero que esto le ayude a entender por qué ¡te has confundido! :)

Answer 4

Como han comentado varias personas: ¿incluyó la pregunta completa? ¿Había algo más sobre $x$ y $a$ ? ¿Cuáles son las variables fijas y cuáles las libres? Por ejemplo, si $a$ fueron fijados pero $x$ podría variar, sería la definición de $f$ siendo continua en $a$ . Pero si $x$ , $a$ fueran ambas variables libres, sería la definición de $f$ siendo uniformemente continua en cualquier conjunto en el que se defina. Son dos cosas muy diferentes, y simplemente no hay manera de saber cuál es la intención sin más información sobre $a$ .

(Por supuesto, la mayoría de los principiantes encuentran la continuidad uniforme muy confusa, así que supongo que no habrán cubierto eso todavía, y por lo tanto la continuidad en el punto $a$ se pretende, en cuyo caso la pregunta debería haber dicho que $a$ se fija al principio).