Mejor forma cerrada para la función generadora $\sum \binom{n}{2k} x^k$

Question

Tengo una serie de poder $F_n(x) = \sum_k \binom{n}{2k} x^k$ que tiene una forma cerrada de $F_n = \frac12 \left((1 + \sqrt{x})^n + (1 - \sqrt{x})^n\right)$ .

$$\begin{align} (1 + \sqrt{x})^n + (1 - \sqrt{x})^n & = \sum_i \binom{n}{i}\left(\sqrt{x}\right)^i + \sum_i \binom{n}{i}\left(-\sqrt{x}\right)^i\\ & = \sum_i \binom{n}{i}\left(\sqrt{x}\right)^i(1^i + (-1)^i)\\ \text{We can discard all terms for odd $i$, and set } k = \frac{i}2\\ & = 2\sum_k \binom{n}{2k}\left(\sqrt{x}\right)^{2k}\\ & = 2\sum_k \binom{n}{2k}x^k\\ \end{align}$$

Esta forma cerrada es inconveniente para mí ya que implica raíces cuadradas de $x$ . Me parece posible que haya una forma cerrada sencilla que implique números imaginarios y sólo potencias integrales de x, pero no he sido capaz de descifrarla.

Para aclarar las cosas, estoy buscando una expresión equivalente que no implique ninguna potencia fraccionaria de $x$ o cualquier notación iterativa como $\sum$ o $\prod$ . También aceptaría un argumento convincente de que no existe tal bestia.

Answer 1

Si cambias tu función generadora puedes tener funciones generadoras más fáciles para una secuencia muy similar.

Por ejemplo, si tuviera $F_n(x)=\sum_{k\ge 0}\binom{n}{2k}x^{2k}$ en lugar de sólo $x^k$ entonces puedes ver que

$$F_n(x)=\frac{g(x)+g(-x)}{2},\quad g(x)=\sum_{k\ge 0}\binom{n}{k}x^k=(1+x)^n\\ [x^k]F_n(x)\leftrightarrow\left\{\binom{n}{0},0,\binom{n}{2},0,\binom{n}{4},0,...\right\}$$

Creo que desde el opsgf original no se pueden conseguir formas más sencillas que las que se consiguen con $\sqrt x$ . Tal vez lo más fácil o útil que se puede conseguir es tomar algún número finito de la expansión de Maclaurin, es decir, la suma, y cuidar el nivel de error que se puede manejar, es decir, tomar los miembros a algún $\mathcal O(x^k)$ como resto.

Entonces, a partir de este número finito de sumandos se puede hacer una expresión cerrada, un polinomio finito, sin raíces de por medio.

Mi comentario anterior es sobre la forma de escribir simplemente $F_n(x)=F_n(y^2)$ ... pero era una broma más que un intento serio :p. Depende, al fin y al cabo, de dónde y para qué se utilice este opsgf.