Es $x^6-x^3+1$ irreducible sobre $\mathbb Q[x]$ ?

Question

Es $x^6-x^3+1$ irreducible sobre $\mathbb Q[x]$ ?

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Si $x^6-x^3+1$ es reducible sobre $\mathbb Q[x]$ , entonces se puede factorizar con el grado $1,2\;\text{or}\;3$ .

Así que comprueba que $x^6-x^3+1$ tiene una raíz sobre $\mathbb Z_2[x]\;\text{and}\;\mathbb Z_3[x]$

Entonces no tiene raíces en $\mathbb Z_2[x]\;\text{and}\;\mathbb Z_3[x]$

Para el grado $1$ , $(x-1)$ y $(x+1)$ no son casos posibles.

Por lo tanto, concluyo que $x^6-x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb Z[x]$

Así, $x^6-x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb Q[x]$

Mi pregunta es que el primer supuesto, si $x^6-x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb Q[x]$ , entonces se puede factorizar con el grado $1,2\;\text{or}\;3$ es si es válido o no.

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$x^6-x^3+1$ tiene una raíz $2$ en $\mathbb Z_3[x]$

Por lo tanto, mis intentos eran falsos.

Answer 1

$\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}$ Parece que probar la irreductibilidad de $x^6 - x^3 + 1$ en $\Z[x]$ puede reducirse a una aplicación de El criterio de Eisenstein mediante la sustitución $x = y - 1$ .

Answer 2

$$x^6-x^3+1 = \frac{x^9+1}{x^3+1} = \frac{(x^{18}-1)(x^3-1)}{(x^9-1)(x^6-1)} = \Phi_9(-x)=\Phi_{18}(x) $$ y cada polinomio ciclotómico es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ En este caso, como ya demostró Andreas Caranti, basta con sustituir $x$ con $y-1$ y aplicar el criterio de Eisenstein. Una alternativa está dada por la comprobación de que $x^6-x^3+1$ es irreducible sobre $\mathbb{F}_{29}$ .