Si $X$ es un conjunto y $\tau_1,\tau_2$ dos topologías en $X$ . ¿Qué significa poner la continuidad del mapa identíficado en $X$ (es decir $id_X(x)=x\forall x\in X$ ) en relación con la comparabilidad de dos topologías (en nuestro caso $\tau_1,\tau_2$ )
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Nate
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Que el mapa de identidad sea continuo significa que todo conjunto abierto en $\tau_2$ también está abierto en $\tau_1$ . Esto también se puede expresar como "Topología $\tau_2$ es más débil que la topología $\tau_1$ ". Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Weaker_topology .
Si la identidad $(X,\tau_1)\to(X,\tau_2)$ es continua, entonces la preimagen de cada conjunto abierto en el codominio, es decir, un conjunto en $\tau_2$ es un conjunto abierto en el dominio, es decir, un elemento de $\tau_1$ . Así que $\tau_2$ es más grueso que $\tau_1$ .
Si se sabe cómo caracterizar la continuidad localmente, esto significa que para cada $x\in X$ y cada barrio de $x$ por ejemplo $\tau_2$ hay una vecindad de $x$ por ejemplo $\tau_1$ contenida en la vecindad dada, lo que significa que la base local es más fina.
