Problema de transposición y diagonal de matrices

Question

Definamos una matriz $$P = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&6\\ 6&2&{ - 3}\\ {{a_{}}}&b&c \end{array}} \right)$$ $PP'$ es una matriz diagonal. $\operatorname{Tr}(PAP') = 49$ donde en la matriz $A = [a_{ij}]$ con \begin{align} & {a_{11}} + {\text{ }}{a_{22}} = 0\\ &{a_{33}} = 1 \end{align} ¿cuál de las afirmaciones es verdadera? \begin{align} &{\text{(A) |}}\det (P)| = 343 \hfill \\ &{\text{(B) }}|a| + |b| + |c| = 11{\text{ }} \hfill \\ &{\text{(C) }}\operatorname{Tr}(PP') = 147{\text{ }} \hfill \\ &{\text{(D) }}APP'{\text{ is a diagonal matrix}} \end{align} Mis observaciones: La respuesta en mi libro de texto se da como (ABC)}}. Lo que temo hacer en cualquier problema de matriz es hacer una multiplicación larga}}. Pues bien, no creo que aquí se requiera tal cosa. Pues cuando calculamos $PP'$ obtenemos la matriz $$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {49}&0&{2a + 3b + 6c} \\ 0&{49}&{6a + 2b - 3c} \\ {2a + 3b + 6c}&{6a + 2b - 3c}&{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {49}&0&0 \\ 0&{49}&0 \\ 0&0&\mu \end{array}} \right)$$ Ahora bien, si probamos $\mu = 49$ o ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 49$ entonces podemos demostrar (A) y (C) fácilmente. Yo no he sido capaz de hacerlo y las opciones (B) y (D) están fuera de mi alcance ahora mismo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Como señala @griboullis, $P P^T$ es diagonal y $tr(PAP') = tr(PP'A)$

Ahora $PP' = \begin{bmatrix} 49 & 0 & 0\\ 0 & 49 &0 \\ 0 & 0 & r \end{bmatrix}$

Así que $tr(PP'A) = 49 a_{11} + 49a_{22} + ra_{33} = 49$

y después de conectar los valores se puede ver que $r = 49$