Medida de Hausdorff y dimensión de Hausdorff

Question

¿Podría alguien explicar la intuición sobre la medida de Hausdorff y la dimensión de Hausdorff?
La medida de Hausdorff se define de la siguiente manera:

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. $\forall S \subset X$ , dejemos que $\operatorname{diam} U$ denotan el diámetro, es decir $$\operatorname{diam} U = \sup \{ \rho(x,y) : x,y \in U \} \,\,\,\,\, \operatorname{diam} \emptyset = 0 $$ Dejemos que $S$ sea cualquier subconjunto de $X$ y $\delta > 0 $ un número real. Definir $$ H^{d}_{\delta} (S) := \inf \{ \sum_{i=1}^{\infty} (\operatorname{diam} U_i )^d : \bigcup_{i=1}^{\infty} U_i \supseteq S, \operatorname{diam} U_i < \delta \}$$

¿Qué hace $\rho(x,y)$ ¿Denunciar? ¿Qué significa el diámetro de un conjunto? Sólo trato de entender la intuición que hay detrás de esta definición.
La dimensión de Hausdorff se define de la siguiente manera:

Dejemos que $X$ sea un espacio métrico. Si $S \subset X$ y $d \in \mathbb{R}^+$ el contenido de Hausdorff se define como $$C^{d}_H (S) := \inf \{ \sum_{i} r_i^d : \, \, \text{there is a cover of $ S $ by balls of radii} \, \, r_i > 0 \} $$ Entonces la dimensión de Hausdorff se define como
$$\operatorname{dim}_{H} (X) := \inf \{d \geq 0 : C^d_H = 0\}$$

¿Podría alguien explicar la intuición que hay detrás de estas definiciones?

Answer 1

¿Qué hace $\rho (x,y)$ ¿denota?

Denota $d(x,y)$ . Es decir, tienes una errata en alguna parte: $d$ y $\rho$ son la misma cosa, la métrica.

¿Qué se entiende por el diámetro de un conjunto?

Lo que has escrito: el sumo de las distancias por pares entre los puntos de tu conjunto. Para desarrollar la intuición, dibuja algunas formas en el plano (que es un excelente ejemplo de espacio métrico) y determina sus diámetros. El diámetro de un círculo es sólo eso, el diámetro (de ahí su nombre). El diámetro de un triángulo es la longitud de su lado más largo. Y así sucesivamente.

Sólo trato de entender la intuición que hay detrás de esta definición.

La intuición es que si el objeto es $d$ -dentales, entonces $r^d$ representa aproximadamente el volumen de su pieza de tamaño $r$ . Sumando todas las piezas, debemos obtener algo que no sea inferior al volumen del objeto. Es decir, las sumas no deben ser arbitrariamente cercanas a cero. Y si lo son, entonces el valor de $d$ que elegimos es demasiado alta, y la dimensión real del objeto es inferior a ella. Así que hacemos $d$ más pequeño (es decir, tomar el ínfimo sobre $d$ ).

El párrafo anterior es una mentira, pero esto es lo que se obtiene cuando se pide intuición .

Answer 2

Voy a tratar de explicar, a mi entender, la intuición que hay detrás de la definición de dimensión de Hausdorff. Como dijo el usuario103254, $\rho =d$ . Veamos ahora algunos ejemplos.

Como siempre, la intuición se deriva de $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{R}^3$ . Para simplificar, utilizaría cubos de lados $r_i$ en vez de bolas. Un cubo en $\mathbb{R}$ es un intervalo, un cubo en $\mathbb{R}^2$ es un cuadrado, un cubo en $\mathbb{R}^3$ es el cubo habitual y así sucesivamente. Además, yo supondría que todos los cubos tienen la misma longitud de lado. Así, la suma de los radios no es más que el número de cubos multiplicado por la longitud lateral. Primero mira el intervalo [0,1]. Si queremos cubrirlo con intervalos de tamaño $\frac{1}{n}$ lo mejor que podemos esperar es cubrirlo con $n$ intervalos cerrados de longitud $\frac{1}{n}$ . Del mismo modo, se necesita $n^2$ cuadrados de lados $\frac{1}{n}$ para cubrir $[0,1]\times [0,1]$ , $n^3$ cubos de lados $\frac{1}{n}$ para cubrir $[0,1]\times [0,1]\times [0,1]$ y así sucesivamente. Esto también puede verse en el hecho de que el volumen de un $d$ -cubo de lado $\frac{1}{n}$ se intuye $\frac{1}{n^d}$ donde como el volumen de $[0,1]^d$ es $1$ . Si el tamaño de la caja es fijo, entonces cuanto mayor sea la dimensión, más cajas necesitará para cubrir.

Así, la suma de radios en la definición de $d$ -contenido dimensional de $[0,1]^k$ en este caso especial será como $n^k \times \frac{1}{n^d} = n^{k-d}$ . Como $n$ tiende al infinito, $n^{d-k}$ tienden a cero si $d \geq k$ e infinito en caso contrario. Así que, ingenuamente, la dimensión de $[0,1]^k$ es $k$ . Digo ingenuamente porque al calcular el infinito podríamos haber tomado cubiertas de diferentes radios. Por supuesto que ni siquiera tomamos bolas sino cubos. Pero supongo que la idea es clara.

Esta creo que es la intuición básica. Espero que haya sido útil.