¿Cuál es la definición de vino?

Question

¿cuál es la definición de $=$?

De arriba es la pregunta que me gustaría ser respondidas, a continuación son algunos de mis pensamientos.

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He estado pensando acerca de lo que significa decir

$A = B$

Llegué a este de una forma de pensar acerca de por qué no tiene sentido decir algo como

$5 = \begin{pmatrix}1, 2, 3\end{pmatrix}$

Mi respuesta para mí fue que $=$ es dependiente del contexto, esto es una relación en un conjunto determinado y por lo tanto sólo tiene sentido cuando los elementos a ambos lados de la $=$ son en el dicho conjunto.

Ahora, nos dicen que estamos en $\mathbb{N}$, entonces ¿cómo podemos definir la $=$? Mi primer pensamiento fue para decir que $A = B$ si, dado cualquier proposición acerca de Un, $P(A)$, con valor de verdad $\alpha$, el valor de verdad de $P(B)$ siempre va a ser $\alpha$.

Sin embargo, ¿qué sucede ahora bien, si tomamos $P(\star) $$ \star = B$? ¿Entonces necesitamos una definición para $=$ a fin de $P(\star)$ a de sentido? Esto es un problema?

Answer 1

En la lógica, la igualdad no es algo que nos define, es una noción primitiva. Si $A=B$ $A$ propiedad $P$ si y sólo si $B$ propiedad $P$—esto es probablemente la cosa más importante a saber sobre la igualdad, y aunque no se define la igualdad, es de supuestos como este que dan forma a nuestra comprensión de lo que la igualdad "es", como los axiomas de la teoría de conjuntos de la forma a nuestra comprensión de lo que significa decir $A \in B$ aunque la membresía es una noción primitiva que no está definida en términos de otras cosas.

A la inversa declaración "si para cada propiedad $P$, $A$ tiene la propiedad $P$ si y sólo si $B$ propiedad$P$, $A=B$" no es cierto en general. (A menos que se le de a la propiedad $P$ tienen un parámetro—a continuación, como usted señala es trivialmente cierto, porque la $P(x)$ puede decir $x =B$.) Es cierto que en las estructuras, como los números naturales, donde cada objeto es definible, pero otras estructuras pueden tener indiscernible elementos que pueden ser distinguidos por la lógica de la propiedad.

Answer 2

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Answer 3

A partir de un reduccionista fundacional punto de vista, la igualdad de las matemáticas es la igualdad de conjuntos, tal como se define por el (ZFC) los axiomas de la teoría de conjuntos. Recordemos que el axioma de extensionality dice que dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Vamos a examinar cómo la igualdad de conjuntos se filtra a igualdad de otros objetos matemáticos, por ejemplo, el número de sistemas, estructuras algebraicas, etc.

Los números naturales $\,\Bbb N\,$ pueden ser representados por conjuntos, por ejemplo, von-Neumann ordinales. A continuación, la igualdad de los naturales es la misma como conjunto teórico de la igualdad. Los enteros $\,\Bbb Z\,$ puede ser construido a partir de $\,\Bbb N\,$ por un estándar de la diferencia semiring de la construcción, donde los números enteros son representadas por las clases de equivalencia de pares de $\rm\,(j,k)\,$ de productos naturales modulo de la equivalencia de la relación de $\rm\,(j,k) \equiv (m,n)\,$ fib $\rm\,j+n = m+k.\:$ La idea es que la clase de equivalencia $\rm\,[(j,k)]\,$ representa la solución de $\rm\,x\,$ $\rm\, x + k = j,\,$ es decir, el entero$\rm\: j-k.\:$, con Lo que, teóricamente, los enteros son ciertos subconjuntos de $\,\Bbb N^2,\,$ y, por lo tanto, entero igualdad se establece en la teoría de la igualdad en $\,\Bbb N^2.\,$

Del mismo modo, racionales (fracciones) se construye como pares de números enteros, el modulo de la conocida relación de equivalencia de fracciones, es decir, si una fracción $\rm\,a/b\,$ está representado por el par $\rm\,(a,b),\,$ $\rm\, (a,b) \equiv (c,d)\,$ fib $\rm\,ad = bc,\:$ por ejemplo $\rm\,1/2 = [(1,2)] = \{\ldots,(-2,-4),(-1,-2)(1,2),(2,4),\ldots\}.$ Nuevo, fracciones son ciertos subconjuntos de a $\rm\,\Bbb Z^2,\,$ y fracción de la igualdad es la misma como conjunto teórico de la igualdad de estos grupos (clases de equivalencia). Lo mismo es cierto para todos los números de otros sistemas (por ejemplo, Hamilton construcción de $\,\Bbb C\,$ como pares de reales). En todos los casos, la igualdad de las relaciones son las relaciones de equivalencia, por lo que la igualdad se reduce a establecer la teoría de la igualdad de clases de equivalencia.

Se mueve hasta el nivel estructural, los anillos están representados por las clases de equivalencia de isomorfo anillos, de modo que el anillo de la igualdad es establecer de nuevo la teoría de la igualdad. Lo mismo para otras estructuras algebraicas.

En analogía con los lenguajes de programación, este es el "lenguaje ensamblador" a la vista de los objetos matemáticos, donde todo ha sido desmontado para su primitiva a nivel de máquina-tipos de datos y operaciones. Cuando se trabaja en un alto nivel, no podemos conceptualizar los objetos en términos de estas primitivas representaciones. Pero para ser rigurosos, que debe ser construida de esta manera desde el primitivo conjunto de fundamentos teóricos. Y se establece la teoría de la igualdad que se filtra hasta el más alto nivel de las relaciones de equivalencia que definen la igualdad en estos de alto nivel compuesto de objetos matemáticos.

Answer 4

Relaciones de equidad se espera que sea simétrica, reflexiva y transitiva. Las relaciones que tienen estas tres propiedades se llaman las relaciones de equivalencia. Estas condiciones nos permiten rechazar determinadas relaciones de las definiciones de la igualdad. Por ejemplo, $\in$ no es una relación de equivalencia y así no va a servir muy bien como la igualdad. No es simétrica: $A\in B$ no implica $B\in A$. También es no reflexiva: $A\in A$ no es cierto en general, pero sólo si $A$ es un conjunto que contiene a sí mismo.

En matemáticas, la costumbre de equivalencia se refiere a la igualdad de valor. Si tenemos un número real $x$ y un número real $y$, $x = y$ es verdadera si $x$ $y$ en realidad no son distintos, pero son el mismo número. A diferencia de los lenguajes de programación del ordenador, que no tiene que preocuparse por el tipo. Es decir, no hay distinción entre 3.0 y 3. En la informática, no puede haber igualdad en la que se distinguen los dos desigual; sin embargo, estas igualdades son todavía adecuados relaciones de equidad.

Dos números complejos son iguales si sus correspondientes partes real e imaginaria, tomado como números reales, son iguales, lo que significa que un número complejo es sólo igual a sí mismo y no a cualquier otro número complejo.

Dos vectores son iguales si tienen la misma dimensión, y cada uno de los miembros de un vector es igual a la de miembro correspondiente de la otra.

Dos conjuntos son iguales si tienen la misma cardinalidad y contienen los mismos elementos.

Si usted quiere tratar a los objetos de diferentes tipos, el vector o matriz $[1]$ igual que el número real $1$ o para el conjunto de ${1}$, depende de la situación. Si tal noción de igualdad no conduce a defectos en una prueba, y añade algún tipo de conveniencia, entonces es admisible.

Answer 5

Sólo en términos de matemáticas yo diría que el signo de la igualdad de A = B significa que A y B tienen el mismo desplazamiento de un punto fijo de referencia (y por supuesto aquí el desplazamiento es una cantidad vectorial).