Encuentra la secuencia.

Question

Me dan la función generadora $\ f(x)=\frac{1}{x-3} $
Tengo que encontrar la fórmula de la secuencia que genera esta función. ¿Tengo que lograr esto?
Encontré algunos tutoriales pero me costó entender esto.
En algunos de ellos se partía de la función generadora de $a_{n}=1$ (Quiero decir $ \sum_{n=0}^\infty x^n $ ) y, a continuación, realizar la transformación para lograr el resultado deseado. Estaría muy agradecido si alguien me explicara cómo hacer esto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{1}{x-3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-x/3}.$$ Probablemente sepa que (para los adecuados $t$ ) $$\frac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+\cdots.$$ Enchufar $t=x/3$ y simplificar un poco para obtener la expansión de su función.

Answer 2

Estás buscando una serie de poder $$y = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$$ tal que $y = \frac{1}{x - 3}$ . O, de forma equivalente, de manera que $(x - 3)y = 1$ . Bueno, tenemos $$xy = x\sum_{n = 0}^\infty a_nx^n = \sum_{n = 0}^\infty a_nx^{n + 1} = \sum_{n = 1}^\infty a_{n - 1}x^n$$ y $$3y = 3\sum_{n = 0}^\infty a_nx^n = \sum_{n = 0}^\infty 3a_nx^n$$ así que $$xy - 3y = \sum_{n = 1}^\infty a_{n - 1}x^n - \sum_{n = 0}^\infty 3a_nx^n = \sum_{n = 1}^\infty a_{n - 1}x^n - \sum_{n = 1}^\infty 3a_nx^n - 3a_0$$ $$= \sum_{n = 1}^\infty[a_{n - 1} - 3a_n]x^n - 3a_0$$ Para que esto sea igual a $1$ debemos tener que el coeficiente de $x^0$ que es $3a_0$ igual $1$ Así que $a_0 = \frac13$ . Para $n > 0$ el coeficiente de $x^n$ que es $a_{n - 1} - 3a_n$ debe ser igual a $0$ . Así que $a_n = \frac{a_{n - 1}}{3}$ . Por lo tanto, $a_1 = \frac{1}{3^2}$ , $a_2 = \frac{1}{3^3}$ y así sucesivamente. ¿Puedes encontrar una fórmula para $a_n$ ?

Answer 3

Para ello, se expande la función en una serie de potencias alrededor del origen. Los coeficientes de esta serie de potencias forman la secuencia que buscas.