Demostrar las propiedades del factorial (función gamma)

Question

Quiero demostrar que la ecuación se cumple. 'p' es un número natural. $$\sum_{n=1}^{} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+p+1)}=\frac{1}{p^2\Gamma(p)}$$ Comprensiblemente, esta fórmula se puede escribir así. $$\sum_{n=1}^{} \frac{1}{n(n+1)\cdots(n+p)}=\frac{1}{pp!}$$ Por favor, dame una pista o prueba.

Answer 1

La función Beta al rescate:

$$\frac{\Gamma(n)\Gamma(p+1)}{\Gamma(n+p+1)} = B(n,p+1) = \int_0^1 t^{n-1}(1-t)^p\,dt.$$

Answer 2

He aquí un enfoque. Recordando la función $\frac{1}{1-x}$ , entonces la serie en consideración puede relacionarse con ella notando que es la integral de fracción de orden $p+1$

$$ \sum_{n=1}^{∞} \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n+p+1)}x^{n+p}=\sum_{n=0}^{∞} \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+p+2)}x^{n+p+1}\\=\frac{1}{\Gamma(p+1)}\int_{0}^{x}(x-t)^{p}\frac{1}{1-t}dt. $$

Ahora, basta con evaluar la última integral y sustituirla por $x=1$ . Ver un problema relacionado .

Nota: Es más fácil sustituir $x=1$ en la integral y luego evaluarla, eso es

$$ \frac{1}{\Gamma(p+1)}\int_{0}^{1}(1-t)^{p}\frac{1}{1-t}dt =\dots\,.$$

Answer 3

¿Has mirado la función $$ F_{p}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n+p}}{n(n+1)\cdots(n+p)},\;\;\; |x| < 1 ? $$ El valor que desea es $\lim_{x\uparrow 1}F_{p}(x)$ .