Demostrar que, si $A, B \in M_{m × n}(K)$ entonces $A$ equivale a $I^{m, n}_r \iff rank(A)=r$ y $A$ equivale a $B$ si sus rangos son iguales.

Question

Teniendo en cuenta esta proposición

Dejemos que $f: U V$ sea una función lineal. Entonces existe una base de $U$ y $V$ tal que la matriz asociada a f es de la forma $$\pmatrix{I_r & 0\\0 & 0}$$ donde $I_r$ es la matriz de identidad y r es el rango de $f$ .

Demostrar que

Dejemos que $I^{m, n}_r$ ser un $m\times n$ matriz cuya primera $r$ son la base canónica de $K^r$ y cuyas líneas restantes son cero, es decir $$I^{m, n}_r = \pmatrix{I_r & 0\\0 & 0}$$ Demostrar que, si $A, B \in M_{m × n}(K)$ entonces $A$ equivale a $I^{m, n}_r \iff rank(A)=r$ . Demostrar que $A$ equivale a $B$ si sus rangos son iguales.

Mi intento:

$\Rightarrow$ Sea A una matriz asociada a una transformación lineal $T:U\rightarrow V$ entonces, por la proposición, existe una base de $U$ y $V$ tal que $$A =\pmatrix{I_r & 0\\0 & 0}$$ donde $I_r$ es la matriz de identidad y $rank(T)=r \implies rank(A)=r$ .

$\Leftarrow$ Sabemos que $rank(A)=r \implies \exists$ una transformación lineal $T:U\rightarrow V$ s.t. $rank(T)=r$ por lo que, según la proposición, existe una base de $U$ y $V$ tal que $$A =\pmatrix{I_r & 0\\0 & 0}$$ Así que claramente A es equivalente a $I^{m, n}_r$

Ahora, para demostrar que $A$ equivale a $B$ si sus rangos son iguales, sólo hay que hacer $B = I^{m, n}_r$

¿Está bien?

Answer 1

Una pista: La clave de la segunda parte es observar que si $A$ equivale a $C$ y $C$ equivale a $B$ entonces $A$ equivale a $B$ .