Calcular $$\lim_{n\to\infty} \left[\ln\left(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right]^n$ $ si tienes algunas pruebas buenos y estás dispuesto a compartir de ellos, entonces muchas gracias y definitivamente tienes mi upvote!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Uno puede comprobar que $$ \log\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)=1+\alpha_n $$ donde $$ \alpha_n=\log\left(1-e^{-1}\sum\limits_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\right) $$ Tenga en cuenta que $$ 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}n\alpha_n=\lim\limits_{n\to\infty}n(-e^{-1})\sum\limits_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k!}\leq\lim\limits_{n\to\infty}n\frac{-1}{enn!}=0 $$ Así $$ \lim\limits_{n\to\infty}\log^n\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}\right)= \lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\alpha_n\right)^{\frac{1}{\alpha_n}}\right)^{n\alpha_n}=e^0=1 $$
Oli
Puntos
89
La manera obvia es obligado la cola que faltan de la serie. Esa cola es menor que una serie geométrica con suma $\frac{1}{nn!}$.
Se sigue que el % de lo $w$dentro del logaritmo satisface $$e-\frac{1}{nn!}\lt w\lt e.$ $ así $$1+\log\left(1-\frac{1}{enn!}\right) \lt \log w \lt 1.$ $ por la serie de Taylor para el logaritmo, que tenemos $$\log\left(1-\frac{1}{enn!}\right)=-\frac{1}{enn!}+o(1/nn!).$ $ en particular, con un % grande $n$, el logaritmo es $\gt -\frac{2}{enn!}$. Ahora con el poder de $n$-th es fácil. El límite es de $1$. Hay una enorme cantidad de holgura. Una cola que es $O(1/n^2)$ habría sido un montón lo suficientemente buena.
