La expansión de Taylor de $\arccos(1-x)$ alrededor de $x=0$ a dos mandatos

Question

Haciendo una expansión normal de Taylor de $\arccos(1-x)$ alrededor de $x=0$ a dos términos tomando derivadas no funciona debido a la división por cero.

He puesto esto en wolfram alfa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series+arccos%281-x%29 . Es bonito pero necesito demostrar que puedo hacerlo yo mismo. Esta no es una clase de análisis, así que nunca he visto raíces cuadradas en una expansión de serie.

Encontré esto en mi búsqueda: Algunas aproximaciones para $\arccos(1/(1+x))$ pero necesito la expansión a dos términos.

Answer 1

Dejemos que $y=f(x)=\arccos(1-x)$ . Entonces $$1-x=\cos y=1-\frac{y^2}2+\frac{y^4}{24}+O(y^6),$$ así que $$x=\frac{y^2}2-\frac{y^4}{24}+O(y^6).$$ Ahora bien, es evidente que no existe una serie de Taylor real para $y$ sobre $x=0$ porque $f'(0)$ no existe. Sin embargo, se puede escribir una solución en serie de potencias generalizada, conocida como el método de Frobenius o la expansión asintótica de $y=f(x)$ cerca de $x=0$ . Resolviendo esta ecuación formalmente:

$$2x=y^2\left(1-\frac{y^2}{12}+O(y^4)\right)\Rightarrow y=\sqrt{2x}\left(1-\frac{y^2}{12}+O(y^4)\right)^{-1/2}$$

Desde $0<y\ll1$ , $\frac{y^2}{12}\ll1$ para que podamos utilizar el teorema del binomio $(1+x)^p=1+px+\cdots$ para obtener el siguiente término de orden:

$$y=\sqrt{2x}+\sqrt{2x}\frac{y^2}{24}+O(y^4)=\sqrt{2x}+\frac{\sqrt{2x}}{24}\left(\sqrt{2x}+\frac{\sqrt{2x}}{24}y^2+O(y^4)\right)^2+O(y^4)$$ $$=\sqrt{2x}+\frac{(2x)^{3/2}}{24}\left(1+\frac{1}{12}y^2+O(y^4)\right)+O(y^4)=\sqrt{2x}+\frac{(2x)^{3/2}}{24}+\frac{(2x)^{3/2}}{24\cdot 12}y^2+O(x^{3/2}y^4)+O(y^4)$$

Ahora bien, como $y=O(\sqrt x)$ (que se deduce del término de orden principal), podemos simplificar todo eso para obtener $$y=\sqrt{2x}+\frac{(2x)^{3/2}}{24}+O(x^2).$$

Answer 2

Partir de la derivada de la función

$$\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{2-x}}= \frac{1}{\sqrt{2x}}\frac{1}{\sqrt{1-x/2}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}(1+\frac{1}{4}x+\frac{3}{32}x^2+\dots )=\dots\,. $$

Ahora, integra las series anteriores para obtener tu serie de Taylor.

Answer 3

Aunque se aborda de forma indirecta en las otras respuestas aquí, parece pertinente señalar que, estrictamente hablando, la expansión en serie resultante en todos los casos (hasta ahora) es -no- una Taylor serie.

La serie de Taylor de una función $f(x)$ sobre $x = c$ está dada por:

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n, $$

es decir, es una expansión en términos de potencias positivas y enteras de $\mathbf{(x-c)}$ que las series dadas hasta ahora no lo son. En el enlace de WolframAlpha en el OP, el resultado se llama serie de Puiseux.

Personalmente, no veo ninguna forma de conseguir un Taylor para esta función, alrededor de $x = 0$ . WolframAlpha ciertamente no lista ninguna forma de este tipo.

Answer 4

El mismo problema ocurre si se intenta ampliar $\sqrt x$ como una serie Taylor. La pendiente vertical te mata, porque los polinomios no pueden hacer eso. La solución es lo que hace Alpha: dividir la "parte singular", que en tu caso es $ \sqrt x.\ \ \frac {\arccos (1-x)}{\sqrt x}$ se comporta bien en el origen y puede dar una serie de Taylor.