Leer, escribir y probar las matemáticas: Producto cartesiano

Question

El siguiente es mi intento de una de mis tareas.

Sean A, B y C conjuntos. Si la siguiente afirmación es verdadera, demuéstrela. Si es falsa, da un contraejemplo.

A $\times$ (B $\cap$ C) = (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C).

Quiero decir que esto es cierto, así que lo hice de la siguiente manera. Para ello, necesitaba demostrar que son subconjuntos entre sí.

Afirmación 1: A $\times$ (B $\cap$ C) $\subseteq$ (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C)

Sea z $\in$ A $\times$ (B $\cap$ C) $\rightarrow$ z = (x,y) $\in$ A $\times$ (B $\cap$ C)

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ (B $\cap$ C)

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ (y $\in$ B $\wedge$ y $\in$ C)

$\rightarrow$ (x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ B) $\wedge$ (x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ C)

$\rightarrow$ (x,y) $\in$ A $\times$ B $\wedge$ (x,y) $\in$ A $\times$ C

$\rightarrow$ (x,y) $\in$ (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C)

Así, A $\times$ (B $\cap$ C) $\subseteq$ (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C)

Afirmación 2: (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C) $\subseteq$ A $\times$ (B $\cap$ C)

Sea z $\in$ (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C) $\rightarrow$ z =(x,y) $\in$ (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C)

$\rightarrow$ (x,y) $\in$ (A $\times$ B) $\wedge$ (x,y) $\in$ (A $\times$ C)

Supongamos que (x,y) $\in$ (A $\times$ B)

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ B

$\rightarrow$ x $\in$ A $\cap$ A $\wedge$ y $\in$ B $\cap$ C

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ B $\cap$ C

$\rightarrow$ (x,y) $\in$ A $\times$ (B $\cap$ C)

Supongamos que (x,y) $\in$ (A $\times$ C)

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ C

$\rightarrow$ x $\in$ A $\cap$ A $\wedge$ y $\in$ B $\cap$ C

$\rightarrow$ x $\in$ A $\wedge$ y $\in$ B $\cap$ C

$\rightarrow$ (x,y) $\in$ A $\times$ (B $\cap$ C)

Así, (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C) $\subseteq$ A $\times$ (B $\cap$ C)

Por lo tanto, A $\times$ (B $\cap$ C) = (A $\times$ B) $\cap$ (A $\times$ C).

Lo único que no me convence es la segunda reivindicación. Lo que me hace dudar es el hecho de que y puede estar en B pero qué pasa si no está en C. Entonces pensé, bueno no tiene que estar y en ambas para empezar. Aquí es cuando me confundí.

Gracias por tomarte el tiempo de leer el post. Gracias de antemano por sus comentarios.

Answer 1

La primera mitad del argumento es correcta. La segunda no es del todo correcta tal y como está escrita: el paso de $x\in A\land y\in B$ a $x\in A\cap A\land y\in B\cap C$ necesita ser justificado, ya que hasta ese momento no has dicho que $y\in C$ . Yo lo haría así:

Dejemos que $z\in(A\times B)\cap(A\times C)$ . Entonces $z=\langle x,y\rangle$ para algunos $x$ y $y$ y $\langle x,y\rangle\in A\times B$ y $\langle x,y\rangle\in A\times C$ . Desde $\langle x,y\rangle\in A\times B$ sabemos que $x\in A$ y $y\in B$ y como $\langle x,y\rangle\in A\times C$ También sabemos que $x\in A$ y $y\in C$ . Desde $y\in B$ y $y\in C$ tenemos $y\in B\cap C$ Así que $z=\langle x,y\rangle \in A\times(B\cap C)$ , según se desee.

Tenga en cuenta que, en general, las pruebas son más fáciles de leer cuando se escriben como prosa -prosa técnica, por supuesto, a menudo con muchos símbolos matemáticos, pero sigue siendo prosa- en lugar de como cálculos lógicos extendidos.

Answer 2

Usted dice "suponga $(x,y) \in A\times B$ ", pero ya está ahí por suposición si está en $A\times B \cap A\times C$ .

$→ x ∈ A ∧ y ∈ B \\ → x ∈ A ∩ A ∧ y ∈ B ∩ C$

Esta parte no tiene sentido.

Lo que yo haría es asumir $(x,y) \in (A\times B) \cap (A\times C)$ . Entonces $(x,y) \in A\times B $ y $(x,y) \in A\times C$ . Así que $x \in A$ y $y \in B$ y $x\in A$ y $y \in C$ así que $(x,y) \in A \times (B\cap C)$ .

Answer 3

$(a,z)\in A\times (B\cap C)$ si $a\in A$ y $z\in B\cap C.$

$z\in B\cap C$ si $z\in B$ y $z\in C$ .

$a\in A$ y $z\in B$ si $(a,z)\in A\times B$ .

$a\in A$ y $z\in C$ si $(a,z)\in A\times C$ .

$(a,z)\in A\times B$ y $(a,z)\in A\times C$ si $(a,z)\in (A\times B) \cap (A\times C).$

Answer 4

Esto no es un comentario sobre su prueba, sino una forma alternativa de abordar problemas como éste.

He aquí otra manera de demostrar más fácilmente, y más formalmente al mismo tiempo. Empezando por el lado más complejo, calculamos qué elementos $\;p\;$ están en este conjunto: simplemente ampliamos las definiciones y las simplificamos, y luego volvemos a nuestro objetivo: \begin{align} & p \in (A \times B) \cap (A \times C) \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\;\cap\;$"} \\ & p \in A \times B \;\land\; p \in A \times C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\;\times\;$, twice"} \\ & \text{ispair}(p) \land \text{fst}(p) \in A \land \text{snd}(p) \in B \;\land\; \text{ispair}(p) \land \text{fst}(p) \in A \land \text{snd}(p) \in C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"logic: simplify"} \\ & \text{ispair}(p) \;\land\; \text{fst}(p) \in A \;\land\; \text{snd}(p) \in B \land \text{snd}(p) \in C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\;\cap\;$"} \\ & \text{ispair}(p) \;\land\; \text{fst}(p) \in A \;\land\; \text{snd}(p) \in B \cap C \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definition of $\;\times\;$"} \\ & p \in A \times (B \cap C) \end{align} Por la extensionalidad del conjunto, esto demuestra la afirmación original.