Solución de la ecuación de transporte lineal en 3D

Question

Si consideramos la siguiente ecuación de transporte con $t>0$ y $x\in \mathbb{R^3}$ : $$\begin{cases} \partial_t f(t,x) + v(t,x). \nabla f(t,x)=0\\ f(0,x)=g(x) \end{cases}$$ Y si definimos la siguiente función $X$ definido en $(s,t,x)\in\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^+}\times\mathbb{R^3}$ : $$\begin{cases} \frac{d}{ds}X(s,t,x)=v(t,X(s,t,x))\\ X(t,t,x)=x \end{cases}$$

Quiero demostrar que la función $f(t,x)=g(X(0,t,x))$ es una solución de la primera EDP (ecuación de transporte).

Mi idea:

Traté de calcular $$\partial_t f(t,x) + v(t,x). \nabla f(t,x)=\partial_t g(X(0,t,x)) + v(t,x). \nabla g(X(0,t,x))$$ $$\partial_t f(t,x) + v(t,x). \nabla f(t,x)=\partial_t X(0,t,x) \nabla g(X(0,t,x)) + v(t,x). \nabla g(X(0,t,x))$$ $$\partial_t f(t,x) + v(t,x). \nabla f(t,x)=[\partial_t X(0,t,x) + v(t,x)] \nabla g(X(0,t,x))$$ Pero no sé qué hacer para demostrar que es igual a cero.

Answer 1

Para la ecuación de transporte $\partial_t f + v \cdot \nabla f = 0$ con datos iniciales $f(0,x) = g(x)$ el método de las características da $\frac{\text d}{\text d t} X = v$ y $\frac{\text d}{\text d t} f = 0$ . A lo largo de las curvas características $t\mapsto X(t)$ Por lo tanto, tenemos $f(t,X(t)) = g(x_0)$ donde la trayectoria de la curva satisface la ecuación diferencial $$ \frac{\text d}{\text d t} X(t) = v(t,X(t)) \qquad\text{with}\qquad \quad X(t) = x,\quad X(0) = x_0 . $$ Así, podemos escribir $x = x_0 + \int_0^t v(\tau ,X(\tau ))\, \text d \tau$ utilizando el FTC. Inyectando esto en la expresión de $f$ a lo largo de las características, finalmente hemos $$ f(t,x) = g\left(x - \int_0^t v(\tau , X(\tau ))\, \text d \tau\right) , $$ donde la función $\tau\mapsto X(\tau)$ resuelve el problema de valor inicial anterior. En el caso particular donde el vector velocidad $v$ es constante en el tiempo y en el espacio, recuperamos la solución clásica $f(t,x) = g(x-tv)$ .

Para demostrar que la expresión anterior funciona, vamos a calcular las derivadas parciales en el espacio y en el tiempo. Tenemos \begin{aligned} \partial_t f &= \partial_t x_0\cdot \nabla g(x_0) = -v\cdot \nabla g(x_0) \\ \nabla f &= \nabla x_0\cdot \nabla g(x_0) = \nabla g(x_0) \end{aligned} lo que pone fin a la prueba.