¿Cada $n$, existe un principal $p$y entero $k$ tal que $p^k - 1$ tiene exactamente $n$ prime divisores?

Question

Que $n \geq 1$ ser un entero. ¿Siempre encontramos un % de la energía $p^k$tal que $p^k - 1$ tiene exactamente $n$ distintos primeros divisores?

Por ejemplo:

• $n = 1$ ejemplo: $2^2 - 1 = 3$
• $n = 2$ ejemplo: $5^2 - 1 = 2^2 \cdot 3$
• $n = 3$ ejemplo: $7^3 - 1 = 2 \cdot 3^2 \cdot 19$
• $n = 4$ ejemplo: $5^6 - 1 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 31$

Siempre podemos encontrar una energía $p^k$ $\geq n$ prime divisores. Sea $p_1, p_2, \ldots, p_n$ números primos distintos, $p_i \neq p$ cada $i$. Entonces $p^k \equiv 1 \mod{p_1p_2 \ldots p_n}$ $k$ positivo, por ejemplo podemos elegir $$k = (p_1 - 1)(p_2 - 1)\ldots(p_n - 1)$ $

Answer 1

Usted puede estar interesado en el Cunningham Proyecto, sobre la factorización de números de la forma $b^n\pm1$ y la secuencia A046800 en OEIS. De acuerdo a los datos existentes, la siguiente conjetura parece plausible: para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $2^k-1$ tiene exactamente $n$ distintos factores primos.

Definir $f(n)$ como el más pequeño $k$ tal que $2^k-1$ tiene exactamente $n$ distintos factores primos. Los valores de $f(n)$ $1\le n\le30$ son:

2,4,8,12,20,24,40,36,48,88,60,72,150,132,120,156,144,200,204,210,180,
324,476,288,300,432,396,480,360,468

y $f(31)>500$.