¿Importancia y aplicaciones del orden de un grupo?

Question

Recientemente, estoy expuesto a algunos ejercicios y teoremas relativos al orden de un grupo. Por ejemplo,

• Si un grupo abeliano tiene subgrupos de órdenes $m$ y $n$ respectivamente, entonces tiene un subgrupo cuyo orden es $\operatorname{lcm}(m,n)$ .

• Una demostración sencilla del teorema de Sylow para grupos abelianos

• Si un grupo finito $G$ de orden $n$ tiene como máximo un subgrupo de cada orden $d|n$ entonces $G$ es cíclico

En mi opinión, el resultado clásico de este tipo son los teoremas de Sylow que aparecen en la mayoría de los libros de texto estándar sobre álgebra abstracta. Como tal, me gustaría preguntar sobre el importancia de orden de un grupo en álgebra abstracta y su aplicaciones en otras ramas de la matemática.

Gracias por su elaboración.

Answer 1

El clasificación de los grupos simples finitos fue uno de los grandes logros matemáticos del siglo XX. También es uno en el que un único resultado sobre el orden de los grupos desempeñó un papel fundamental, a saber, el Teorema de Feit-Thompson o teorema del orden de impar:

Teorema. (Feit-Thompson, 1963) Todo grupo de orden impar es soluble*.

La prueba es famosamente larga, con 255 páginas, y ha sido recientemente Coq -verificado [1].

El subgrupo derivado de un grupo soluble es un subgrupo normal propio, por lo que un grupo soluble es simple sólo si es abeliano. Por tanto, el teorema de Feit-Thompson tiene el siguiente corolario:

Corolario. Todo grupo simple finito no cíclico tiene orden par.

Hay otros resultados en esta línea, con pruebas mucho más cortas. Por ejemplo, el teorema de Burnside ( Wikipedia contiene una prueba):

Teorema. (Burnside, 1904) Deja $p, q, a, b\in\mathbb{N}$ con $p, q$ primos. Entonces todo grupo de orden $p^aq^b$ es soluble.

Por lo tanto, todo grupo simple finito no cíclico debe tener un orden divisible por tres primos. Además, al menos uno de estos primos aparece dos veces en la descomposición primaria del orden:

Teorema. (Frobenius, 1893) Los grupos de orden libre de cuadrados son solubles.

Puede encontrar una demostración de este teorema en Math.SE aquí . La respuesta enlaza con el artículo [2], donde el teorema es la Proposición 17 (página 9). El artículo también afirma que el resultado se debe a Frobenius en [3].

*En inglés americano, solvable.

[1] Gonthier, Georges, et al. "A machine-checked proof of the impar order theorem". Conferencia internacional sobre la demostración interactiva de teoremas. Springer, Berlín, Heidelberg, 2013.

[2] Ganev, Iordan. "Grupos de un orden libre de cuadrados". Revista de Matemáticas para estudiantes de Rose-Hulman 11.1 (2010): 7 ( enlace )

[3] Frobenius, F. G. "Uber auflösbare Gruppen". Actas de la Academia de Ciencias de Berlín (1893): 337-345.