Descomposición del operador complejo

Question

Un operador complejo $T \in L(V)$ en un espacio de dimensión finita descompone el espacio en una suma de eigenspaces invariantes y generalizados. Tengo problemas para entender intuitivamente por qué estos eigenspaces generalizados no pueden superponerse.

El libro del que estoy leyendo (Axler) lo demuestra con un argumento basado en que la suma de las dimensiones de los eigespacios generalizados es igual a la dimensión del espacio. Sabe que eso es cierto por el siguiente teorema

Teorema Cada valor propio aparece en la diagonal de una matriz triangular superior para $T$ exactamente dim null $(T-\lambda I)^n$ tiempos.

En Axler, esto se demuestra por inducción y recuperando el caso general a partir del caso en que $\lambda = 0$ y por esa razón, no siento que entienda realmente por qué es verdad.

Esto puede ser un poco vago, pero ¿hay alguna prueba del teorema anterior que sea constructiva o que arroje luz adicional sobre por qué los espacios propios generalizados suman el espacio? La descomposición de un operador complejo parece bastante importante/profunda, y estoy tratando de obtener toda la intuición posible sobre los espacios eigénicos generalizados.

Answer 1

Puede encontrar la siguiente prueba en El libro de Hoffman .

Dejemos que $p(x)=\prod_{i=1}^n(x-\lambda_i)^{n_i}$ sea el polinomio característico de $T$ , donde $\lambda_i\neq\lambda_j$ . Definir los polinomios $p_i(x)=\dfrac{p(x)}{(x-\lambda_i)^{n_i}}$ .

Observe que $\operatorname{mdc}(p_1(x),\ldots,p_n(x))=1$ . Por lo tanto, existen polinomios $q_i(x)\in\mathbb{C}[x]$ tal que $\sum_{i=1}^nq_i(x)p_i(x)=1$ . Sustitución de $x$ por $T$ obtenemos: $\sum_{i=1}^nq_i(T)p_i(T)=Id$

Así, cada $x=\sum_{i=1}^nq_i(T)p_i(T)x$ .

Ahora, $(T-\lambda_iId)^{n_i}q_i(T)p_i(T)x=q_i(T)(T-\lambda_iId)^{n_i}p_i(T)=q_i(T)p(T)x$ . Recuerde por Cayley-Hamilton thm que $p(T)\equiv 0$ . Así, $(T-\lambda_iId)^{n_i}q_i(T)p_i(T)x=0$ .

Así que cada $x\in V$ es una suma de vectores $q_i(T)p_i(T)x\in\ker(T-\lambda_iId)^{n_i}$ .

Por lo tanto, $V=\sum_{i=1}^n\ker(T-\lambda_iId)^{n_i}$ . Debemos demostrar que la superposición de estos núcleos es $0$ es decir $\ker(T-\lambda_iId)^{n_i}\cap \ker(T-\lambda_jId)^{n_j}=0$ .

Desde $\operatorname{mdc}((x-\lambda_i)^{n_i},(x-\lambda_j)^{n_j})=1$ entonces existen polinomios $r_i(x),r_j(x)\in\mathbb{C}[x]$ tal que $r_i(x)(x-\lambda_i)^{n_i}+r_j(x)(x-\lambda_j)^{n_j}=1$ .

Sustitución de $x$ por $T$ obtenemos $r_i(T)(T-\lambda_iId)^{n_i}+r_j(T)(T-\lambda_jId)^{n_j}=Id$ .

Así que si $x\in \ker(T-\lambda_i)^{n_i}\cap \ker(T-\lambda_j)^{n_j}$ entonces $0=r_i(T)(T-\lambda_iId)^{n_i}x+r_j(T)(T-\lambda_jId)^{n_j}x=x$ .

Así que $V=\bigoplus_{i=1}^n\ker(T-\lambda_iId)^{n_i}$ .

No es difícil demostrar que $\ker(T-\lambda_iId)^{n_i}$ es invariable por $T$ . Intenta probarlo.

Answer 2

Yo lo haría en los siguientes pasos.

1. Si $f_1$ y $f_2$ son polinomios relativamente primos, y $f = f_1 f_2$ , demuestre que $\ker f(T) = \ker f_1(T) \oplus \ker f_2(T)$ .

2. Extender el primer punto por inducción a un producto $f = f_1 f_2 \dots f_r$ .

3. Aplicar este resultado a la descomposición del polinomio mínimo $f$ de $T$ como producto de potencias de factores lineales.

De estos puntos, sólo el primero es en absoluto difícil. Está claro que $\ker f_1(T)$ y $\ker f_2(T)$ son subespacios de $\ker f(T)$ . Por el lema de Bezout, hay polinomios $\alpha_1$ y $\alpha_2$ Satisfaciendo a $\alpha_1 f_1 + \alpha_2 f_2 = 1$ . Así, para cualquier $v \in V$ tenemos

$$v = \alpha_1(T)f_1(T)\cdot v + \alpha_2(T)f_2(T) \cdot v.$$

Por un lado, esta igualdad muestra que si $v \in \ker f_1(T) \cap \ker f_2(T)$ entonces $v = 0$ .

Por otro lado, si $v \in \ker f(T)$ entonces proporciona una descomposición de $v$ en la suma de un elemento de $\ker f_2(T)$ y una de $\ker f_1(T)$ , demostrando lo que necesitamos.

Además, deberías volver a esta pregunta después de haber estudiado el teorema de la estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal, que es un tema de álgebra abstracta. (Supongo, ya que estás leyendo el libro de Axler, que aún no has estudiado esto). La idea es considerar $V$ como $\mathbf{C}[X]$ -módulo, donde $X \cdot v$ se define como $T(v)$ . Esta idea aclara en gran medida la teoría de la estructura de los endomorfismos de $V$ .