Ecuaciones diferenciales resolver para exponentes

Question

Consider $x' = A(t)x$, $x \in \mathbb{R}^n$ donde $A$ es $2\pi$-periódica.

$$A(t) = \begin{bmatrix} 1+\sin(t)&0&0\\ 0&3&4\\ 0&1&3\end{bmatrix}$$

La pregunta es encontrar los exponentes de Floquet y también se pide encontrar los exponentes de Lyapunov. Soy algo nuevo en ecuaciones diferenciales ordinarias, y sería muy útil mostrar paso a paso cómo resolver este problema para entender firmemente el concepto.

Answer 1

El sistema original consta de 2 partes: $$\tag{1} \dot x=(1+\sin t)x$$ y $$\tag{2} \frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}y\\z\end{array}\right)= B\left(\begin{array}{c}y\\z\end{array}\right),\qquad B= \left(\begin{array}{cc} 3&4\\1&3 \end{array}\right).$$ Podemos resolverlos por separado, obteniendo $$x(t)=C_1e^{t-\cos t}$$ $$\left(\begin{array}{c}y\\z\end{array}\right)= e^{Bt}\left(\begin{array}{c}C_2\\C_3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} e^{5t}/2 + e^t/2& e^{5t} - e^t\\ e^{5t}/4 - e^t/4& e^{5t}/2 + e^t/2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_2\\C_3\end{array}\right);$$ o $$\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} e^{t-\cos t}&0&0\\ 0& e^{5t}/2 + e^t/2& e^{5t} - e^t\\ 0& e^{5t}/4 - e^t/4& e^{5t}/2 + e^t/2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_1\\C_2\\C_3\end{array}\right)=X(t) \left(\begin{array}{c}C_1\\C_2\\C_3\end{array}\right).$$ La matriz fundamental $X(t)=\left(\begin{array}{c|c} e^{t-\cos t}&0\\ \hline 0&e^{Bt} \end{array}\right)$ se puede escribir en la forma canónica de Floquet $$X(t)=\Phi(t)e^{\Lambda t},$$ donde $$\Phi(t)= \left(\begin{array}{ccc} e^{-\cos t}&0&0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{array}\right)$$ es una matriz periódica de $2\pi$, $$e^{\Lambda t}= \left(\begin{array}{c|c} e^t&0\\ \hline 0&e^{Bt} \end{array}\right)= e^{ \left(\begin{array}{c|c} t&0\\ \hline 0&Bt \end{array}\right)}= e^{ \left(\begin{array}{c|c} 1&0\\ \hline 0&B \end{array}\right)t},$$ por lo tanto, $$\Lambda= \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0& 3& 4\\ 0& 1& 3 \end{array}\right).$$ $\Lambda$ tiene los eigenvalores $1,1,5$, por lo tanto, los multiplicadores de Floquet del sistema son los eigenvalores de $e^{2\pi\Lambda}$, es decir, $e^{2\pi}$, $e^{2\pi}$, $e^{10\pi}$; los exponentes de Floquet son $1,1,5$; Los exponentes de Lyapunov son las partes reales de los exponentes de Floquet, por lo tanto son iguales a $1,1,5$.