No es nada, pero un problema con el real cuadráticas formas. Usted tiene un par de vectores $v,v' \in R^4$, respectivamente, de los componentes de la $(\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z)$$(\Delta t', \Delta x', \Delta y', \Delta z')$. En realidad estos componentes describen el mismo vector en el espacio-tiempo (que describe la diferencia de eventos), pero refiriéndose a dos marcos de referencia diferentes.
Lo siguiente que considerar dos formas cuadráticas $$ds^2(v,v)=
c^2\Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 -\Delta z^2$$ and $$ds'^2(v',v')=
c^2\Delta t'^2 - \Delta x'^2 - \Delta y'^2 -\Delta z'^2\:.$$
Dado que existe una transformación lineal que conecta los dos marcos de referencia (que será probado ser la transformación de Lorentz!) también tenemos $v'= Av$ donde $A$ es no-singular $4 \times 4$ real de la matriz independiente de $v$, también podemos escribir:
$$ds'^2(v',v')= ds'^2(Av,Av)$$
Finalmente conocemos, de la física, que:
$$ds'^2(v',v') =0 \quad \mbox{if and only if}\quad ds^2(v,v) =0\:,$$
que es
$$ds'^2(Av,Av) =0 \quad \mbox{if and only if}\quad ds^2(v,v) =0\:.$$
En otras palabras:
las formas cuadráticas $ds^2(\:,\:)$ $ds'^2(A\cdot\:,A\cdot)$ tienen el mismo ceros.
Un teorema de la formas cuadráticas establece que:
THEORM. Dos formas cuadráticas en una real $n$ dimensiones de espacio vectorial, respectivamente asociados a la matriz simétrica $$\eta = diag(1,-1, \ldots, -1)$$
y a la symmtric matriz $\eta'$, tienen el mismo ceros si y sólo si son proporcionales, es decir,
$$\eta' = c \eta \quad \mbox{for some $c\in \mathbb R \setminus\{0\}$}\:.$$
La aplicación de la reuslt para nuestro caso tenemos que no es $a\neq 0$ con
$$ds^2(v,v)= ads'^2(Av,Av)\quad \mbox{for every $v\in R^4$}.$$
No tengo Ladau del libro, así que no sé cómo se demuestre con posterioridad en el mismo que $a=1$. Creo que algunos físicos simetría argumento es explotado en adición a la invariancia de $c$.
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1.
PRUEBA del Teorema.
Debido a la forma de $\eta$, $U^t\eta U =0$ si y sólo si $U_V^0 = \pm |V|$ $U_V^{i}= V_{i}$ $V \in \mathbb R^{n-1}$ $i=1,\ldots,n-1$ donde $|V| = \sqrt{V_1^2+\cdots+V_{n-1}^2}$. Nuestra hipótesis en $\eta'$ por lo tanto puede ser explícita, como sigue.
$$U_V^t\eta'U_V=0 \quad \forall V \in \mathbb R^{n-1}\:.$$
En componentes (del latín índices suma de$1$$n-1$)
$$\eta'_{00}|V|^2 \pm \sum_i \eta'_{0i} |V| V_i + \sum_{ij} \eta'_{ij} V_iV_j=0\:.$$
Nosotros de ahora en adelante utilizar el signo $+$, otros pueden ser tratados de manera similar. Debe ser
$$\eta'_{00}|V|^2 + \sum_i \eta'_{0i} |V| V_i + \sum_{ij} \eta'_{ij} V_iV_j=0\quad \forall V \in \mathbb R^{n-1}\:.\tag{1}$$
Dado que (1) tiene por $V$$-V$, de inmediato nos tienen que
$$\sum_i \eta'_{0i} |V| V_i=0 \quad \forall V \in \mathbb R^{n-1}\:.$$
La arbitrariedad de $V$ fácilmente implica que $\eta'_{0i}=0$ todos los $i=1,\ldots, n-1$.
(1) puede ser re-escrita de la siguiente manera
$$\sum_{ij} (\eta'_{00}\delta_{ij}+\eta'_{ij}) V_iV_j=0\quad \forall V \in \mathbb R^{n-1}\:.\tag{2}$$
Desde $\eta'_{ij}=\eta'_{ji}$ con $V=X+Y$ y la próxima $V=X-Y$, (2) los rendimientos
$$\sum_{ij} (\eta'_{00}\delta_{ij}+\eta'_{ij}) X_iY_j=0\quad \forall X,Y \in \mathbb R^{n-1}\:.\tag{3}$$
En otras palabras, la matriz en el interior del producto escalar de arriba es la matriz cero,
$$\eta'_{00}\delta_{ij}+\eta'_{ij}=0\:. $$
Resumiendo
$$\eta'= \eta'_{00} diag (1, -1, \cdots, -1)\:.\tag{4}$$
Observe que $\eta'_{00}$ no puede desaparecer de lo contrario, los ceros de $\eta'$ podría llenar todo el espacio vectorial, de diferente forma los ceros de $\eta$, pero sabemos que el conjunto de ceros deben de coincidir por hipótesis. (4) es la tesis de si $c:= \eta'_{00}$. QED
2. Evidentemente, haciendo uso de Sylvester del teorema, la declaración de la demostró el teorema implica una forma aparentemente más fuerte forma de esta.
THEORM. Considerar dos formas cuadráticas en una real $n$ dimensiones de espacio vectorial, respectivamente, asociados a las matrices simétricas $\eta$ $\eta'$ donde $\eta$ tiene firma $+,-,\ldots, -$.
$\eta$ $\eta'$ tienen el mismo ceros si y sólo si son proporcionales
