Recordemos que el Teorema Principal de Zariski establece que si $f: X \to Y$ es un morfismo cuasi finito, separado y finitamente presentado hacia un esquema separado cuasi compacto $Y$ entonces existe una factorización de $f$ en una inmersión abierta seguida de un morfismo finito. En EGA IV-8, esto se demuestra reduciendo al caso de $Y$ el $\mathrm{Spec}$ de un anillo noetheriano mediante un argumento de presentación finita (cuya maquinaria general se desarrolla en la parte anterior de esa sección), reduciendo luego al caso de un anillo excelente noetheriano local (utilizando de nuevo el argumento de presentación finita, ya que mediante esta maquinaria se prueban cosas sobre el esquema local $\mathrm{Spec}(\mathcal{O}_y)$ es lo mismo que probar las cosas en una vecindad), y finalmente completando y probando el resultado para $Y$ el espectro de un anillo noetheriano local completo, tras lo cual es básicamente un álgebra conmutativa.
Este argumento es muy bonito, pero tengo curiosidad por saber si hay un enfoque más elemental en el caso especial de $Y$ noetheriano, o incluso en el caso clásico de esquemas de tipo finito sobre un campo (que evita la maquinaria general de los argumentos de presentación finita y el descenso de las propiedades de los morfismos bajo cambio de base fielmente plana). En concreto, tengo curiosidad por saber si existe un argumento que utilice una maquinaria menos complicada y que pueda formularse en el lenguaje de las variedades. ¿Hay alguno?
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¿Has intentado buscar la prueba original de Zariski? (De todos modos, supongo que fue Zariski quien lo demostró originalmente).
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No creo que Zariski demostrara la versión cuasifinita (que creo que se debe a Grothendieck); el resultado original se refería a correspondencias birracionales en las que el objetivo era normal.
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Mira en el Libro Rojo de Mumford.