Cómo representar dos transformaciones del sistema de coordenadas como una sola

Question

Estoy trabajando en un sistema de coordenadas euclidianas relativas.

Me gustaría definir cada sistema de coordenadas relativo a un sistema de coordenadas global, al que me referiré como [0]. Entonces, por ejemplo, otro sistema de coordenadas [1] podría ser denotado por una traslación ( $x$ , $y$ , $z$ ) desde el origen global al origen local, y un conjunto de rotaciones ( $\phi$ , $\chi$ , $\psi$ ) sobre el original $x$ -, $y$ -, y $z$ -para indicar la nueva orientación.

Todo esto parece tener sentido para mí. Mi problema es obtener un sistema de coordenadas [2] definido en términos de [1], y llegar a las traslaciones y rotaciones que lo relacionan directamente con el sistema de coordenadas global [0].

Digamos que [2] está definido por las traslaciones ( $a$ , $b$ , $c$ ) y luego las rotaciones ( $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ), todos relativos al origen de [1], NO al origen global.

¿Cómo puedo utilizar esta información para obtener un conjunto de traslaciones y rotaciones que describan [2] en términos de [0]?

Answer 1

Puedes utilizar la matriz de traslación para mapear un sistema de coordenadas a otro. Por ejemplo, vamos a denotar un vector en el sistema de coordenadas [0] como $\vec v_{[0]}$ el vector mapeado al sistema de coordenadas [1] puede expresarse como $\vec v_{[1]} = T_{[0]} \vec v_{[0]}$ Aquí $T_{[0]}$ es el $3 \times 3$ matriz de traducción.

Para un vector en sistema de coordenadas [2]: $\vec v_{[2]} = T_{[1]} \vec v_{[1]} = T_{[1]} T_{[0]} \vec v_{[0]}$

Así, la matriz de traslación de [0] a [2] es $T_{[1]} T_{[0]}$