¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola roja?

Question

¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una bola roja?

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Supongamos que hay dos tarros, $A,B$

$A$ tiene $2$ rojo, $4$ verde

$B$ tiene $3$ rojo, $5$ verde

Se selecciona una urna al azar, dando a cada una de las urnas una probabilidad de $1/2$

Se elige una urna al azar y se selecciona una bola de esa urna. ¿Cuál es la probabilidad de que una $G$ se selecciona la bola.

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Puedo utilizar un diagrama de árbol, en el que mi respuesta es muy clara:

Podemos ver que la probabilidad de que un $R$ La bola seleccionada es $(1/2)(2/6)+(1/2)(3/8)=17/48$

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La forma en que mi libro de texto lo hace es utilizando el teorema de la probabilidad total (versión condicional).

Eso es, $P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B)$

Pensando en la pura intuición, $P(R|A)$ me pregunta "cuál es la probabilidad de que hayas seleccionado una bola roja, sabiendo que ya has seleccionado A". Bueno, eso es sólo $2/6$ . Básicamente puedo mirar todo después de la $A$ en el diagrama.

Así que nuestra ecuación acaba convirtiéndose en la misma que el thereom de la probabilidad.

Aquí es donde está mi pregunta:

Utilizando la fórmula, $P(R|A)=\dfrac{P(R\cap A)}{P(A)}$

Pero ¿qué es $P(R\cap A)$ ? Si $P(A) = 1/2$ , entonces seguramente el numerador debe ser $1/6$ ya que nuestro enfoque intuitivo nos decía que esta probabilidad condicional es $2/6$ .

Pero no entiendo donde esta $1/6$ viene de. Puedo ver que esto es probablemente $(1/2)(2/6)$ (básicamente multiplicamos toda la rama), pero ¿por qué funciona esto? Sé que se pueden multiplicar las probabilidades de dos eventos independientes pero, ¿cómo es esto independiente? La selección de la caja A afectó al número de bolas rojas que teníamos.

Answer 1

Ley de la probabilidad total:

$$P(R) = P(A)P(R|A) + P(B)P(R|B)\\ = .5(1/3) + .5(3/8) = 17/48 = 0.3541667.$$

Si quieres un enfoque intuitivo: Porque las urnas $A$ y $B$ son igualmente probables, la respuesta es la media de las probabilidades respectivas, $1/3$ y $3/8,$ de obtener una bola roja de cada urna individualmente,

$$\frac{1/3 + 3/8}{2} = \frac{17}{48}.$$

Su diagrama es un enfoque fácil y correcto, pero equivale a una representación gráfica de la Ley de Probabilidad Total.

Nota: La fórmula $P(B|A) = P(B \cap A)/P(A)$ es una definición de probabilidad condicional, siempre que $P(A) > 0.$ En la forma $P(B \cap A) = P(A)P(B|A),$ a veces se denomina Regla General de Multiplicación. En este problema concreto su uso es natural porque sabemos que tanto $P(A)$ y $P(B|A).$ [Si los eventos $A$ y $B$ fueran independientes, tendríamos $P(B \cap A) = P(B)P(A),$ pero en este problema $A$ y $B$ no son eventos independientes].