Dejemos que $X$ sea la curva cúbica afín $y^2=x^3$ sobre un campo de característica no igual a 2 o 3. Sea $A=k[X]$ el anillo de funciones regulares sobre $X$ . Sea $\Omega_A$ sea el $A$ -de diferenciales de Kähler en $X$ es decir, el $A$ -módulo generado por símbolos $\mathrm{d}f$ , donde $f\in A$ que satisface las propiedades $\mathrm{d}\lambda=0$ , $\mathrm{d}(f+g)=\mathrm{d}f+\mathrm{d}g$ y $\mathrm{d}(fg)=f\mathrm{d}g+g\mathrm{d}f$ para todos $f,g\in A$ y $\lambda\in k$ . Sea $\Omega[X]$ denota el conjunto de todas las formas diferenciales regulares sobre $X$ . ¿Por qué la forma diferencial $3y\mathrm{d}x-2x\mathrm{d}y$ distinto de cero en $\Omega_A$ , pero cero en $\Omega[X]$ ?
Respuesta
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Jiangwei Xue
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Claramente, $\Omega_{k[X]}$ se genera (como un $k[X]$ -) por $dx$ y $dy$ . Desde $k[X]=k[x]+k[x]y$ cualquier diferencial de Kähler $\omega$ puede escribirse como $$ (A+By)dx + (C+Dy) dy,$$ con $A,B, C, D\in k[x]$ . Obsérvese que las relaciones son generadas por $2ydy-3x^2dx$ en $k[X]$ por lo que cuando se considera como un módulo sobre $k[x]$ se genera por $$1\cdot (2ydy-3x^2dx)= 2ydy-3x^2dx $$ y $$y\cdot (2ydy-3x^2dx)=2y^2dy-3x^2ydx= 2x^3dy-3x^2ydx.$$ Sustitución de $ydy$ por $3x^2dx/2$ y $x^2ydx$ por $2x^3dy/3$ respectivamente, vemos que cualquier $\omega$ se puede escribir únicamente como $$ Adx +Bydx+Cdy$$ con $\deg B<2$ . Esto demuestra que $3ydx-2xdy$ es distinto de cero en $\Omega_{k[X]}$ .
A continuación demostramos que es cero en $\Omega[X]$ . Recordemos que cada $\omega'\in \Omega[X]$ es una asignación de un vector cotangente en cada punto de $X$ que es "agradable" localmente. Una forma diferencial desaparece si desaparece en cada punto. Sin embargo, está claro que en nuestro caso sólo tenemos que comprobarlo para el origen. Sea $m=(x,y)$ sea el ideal máximo de $k[X]$ correspondiente al origen. Tenemos que demostrar que la imagen de $3ydx-2xdy$ bajo el mapa $\Omega_A\to m/m^2$ es cero. Pero este mapa no es más que $dx\mapsto x$ y $dy\mapsto y$ .
