Un debilitamiento de la conjetura de Littlewood

Question

Para los números reales $x$ , dejemos que $\|x\|$ denotan la distancia desde $x$ al número entero más cercano. Definir una función $\ell:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ por $$\ell(\alpha,\beta)=\liminf_{n\rightarrow\infty}n\|n\alpha\|\|n\beta\|.$$ La conjetura de Littlewood afirma que, para todo $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$ tenemos $\ell (\alpha,\beta)=0$ .

¿Puede alguien ver cómo demostrar la afirmación (aparentemente mucho más débil) de que, para todo $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}$ , $$\inf_{A\in\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})}\ell\left(A\left( \begin{array}{c} \alpha\\ \beta\\ \end{array} \right)\right)=0\quad ?$$ No me sorprendería que este problema tuviera una solución fácil, pero aún no he podido encontrarla. A modo de orientación, hay que tener en cuenta que, en la definición de $\ell$ si sustituimos $\liminf$ por $\inf$ Entonces el problema se vuelve casi trivial.

Answer 1

Creo que sí. Deja que $K$ sea un número entero positivo grande, y $N$ un parámetro entero que va al infinito. Por aproximación de Dirichlet podemos encontrar $n \in [N,2N]$ tal que $\|n\alpha\|, \|n\beta\| = O(N^{-1/2})$ Podemos suponer que $\|n\alpha\|, \|n \beta\| \asymp N^{-1/2}$ ya que en caso contrario hemos terminado. En aras de la notación, supongamos que las partes fraccionarias con signo $\{n\alpha\}, \{n\beta\} \in (-1/2,1/2]$ son positivos (y, por tanto, comparables a $N^{-1/2}$ ). Sea $p_j/q_j$ sea la última fracción continua aproximada a $\{n\alpha\}/\{n\beta\}$ (una cantidad comparable a 1) con $q_j \leq K$ . (Nótese que podemos suponer que este cociente es irracional, ya que la conjetura de Littlewood es fácil en el caso conmensurado). La teoría estándar de las fracciones continuas nos dice que $$ p_{j-1} q_j - p_j q_{j-1} = \pm 1$$ y $$ p_j - q_j \{n\alpha\}/\{n\beta\} = O(1/q_{j+1})$$ $$ p_{j-1} - q_{j-1} \{n\alpha\}/\{n\beta\} = O(1/q_{j})$$ y así $\| n (p_j \beta - q_j \alpha) \| = O( N^{-1/2}/q_{j+1} ) = O( N^{-1/2}/K)$ y $\| n (p_{j-1} \beta - q_{j-1} \alpha) \| = O( N^{-1/2}/q_j ) = O(N^{-1/2})$ . Tras el encasillamiento podemos encontrar (para los fijos $K$ ) una secuencia infinita de $N$ de manera que el $p_j,q_j,p_{j-1},q_{j-1}$ son constantes, y por tanto $\ell( p_j \beta - q_j \alpha, p_{j-1} \beta - q_{j-1} \alpha ) = O(1/K)$ . Dejar $K$ al infinito obtenemos la afirmación.